4.5. РЕШЕНИЕ УЗЛОВЫХ И КОНТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Узловые или контурные уравнения образуют линейную алгебраическую систему, имеющую общий вид
с матрицей A = Gу или Rк, неизвестными x = u0 или iк и вектором правых частей b = Jу или eк. Ее решение представляет стандартную вычислительную задачу линейной алгебры. Для систем невысокой размерности (n = 2; 3) можно использовать правило Крамера, согласно которому искомые величины выражаются как отношение определителей
xk = D/Dk
где D — определитель матрицы A; Dk — определитель, полученный из него в результате замены его k-го столбца вектором правых частей.
Поскольку матрица узловых или контурных уравнений пассивной цепи является положительно определенной, то ее определитель отличен от нуля, и решение системы всегда существует и единственно.
рис. Pис. 4.5 |
В активных цепях это условие в общем случае не соблюдается. Покажем это на примере простейшей цепи (рис. 4.5). Ее единственное контурное уравнение записывается в форме: (R1 + R2) i1 - R2J = e, или (R1+ (1 - a)R2) i1 = e. Если коэффициент усиления усилителя тока составляет a = (R1+ R2)/R2 то множитель при i1 равен нулю, и уравнение не имеет решения. |
Решение узлового уравнения для напряжения k-го узла в общем случае можно записать в развернутой форме
где Dmkу — алгебраическое дополнение, полученное из определителя матрицы узловых проводимостей Dу путем вычеркивания m-й строки и k-го столбца и умножения результата на (-1)k+m.
Отношение Dу/Dkkу = gkk, имеющее размерность проводимости, представляет входную проводимость рассматриваемой цепи между k-м и опорным узлами; Dу/Dmkу = gmk — проводимость передачи от m-го к k-му узлу.
Аналогично при решении системы контурных уравнений для k-го контурного тока можно получить общее выражение:
где Dmkк — соответствующие алгебраические дополнения определителя матрицы контурных сопротивлений Dк.
Величина Dк/Dkkк = rkk представляет входное сопротивление k-го контура; Dк/Dmkк = rmk — передаточные сопротивления от m-го к k-му контуру (взаимные сопротивления).
Численные методы решения узловых и контурных уравнений включают метод последовательного исключения Гаусса и его модификации, связанные с разложением матрицы А на треугольные матрицы, а также итерационные методы. Они подробно изложены в курсе численного анализа.
Заметим, что наличие в алгоритмах этих методов операций вычитания может при вести к погрешности решения или трудностям при плохой обусловленности решаемых систем уравнений. Выше было показано, что матрицы, близкие к вырожденным, могут появиться при расчете активных цепей. Подобные затруднения встречаются и при расчете пассивных цепей со значительным разбросом параметров элементов. Пусть, например, в пассивной цепи два узла соединены ветвью с сопротивлением, существенно меньшим по сравнению с остальными сопротивлениями. В узловых уравнениях, составленных для обоих узлов, будут доминировать члены, включающие проводимость их общей ветви, и оба уравнения будут близкими друг к другу, что приведет к плохо обусловленной системе, решение которой с помощью стандартных методов может дать большие погрешности. Аналогичная ситуация возникает и при контурном анализе, если сопротивлении общей ветви двух контуров существенно больше остальных сопротивлении. Для преодоления возникающих трудностей можно перейти от узлового анализа данной цепи к контурному и наоборот.
