15.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RL-ЦЕПИ
Процессы в RL-цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4, а) рассчитываются аналогично.
Рис. 15.4
Дифференциальное уравнение для тока имеет вид
L di/dt + Ri = u0(t).
Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих
Характеристическое уравнение
имеет корень l = – R/L, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид
где t = L/R — постоянная времени индуктивной цепи.
Вид частного решения i' зависит от характера напряжения источника.
1. Включение к источнику постоянного напряжения (u0(t) = U0 = const). В этом случае при t ® Ґ в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равным i' = U0/R. Теперь для определения значений постоянной A в общем решении
используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i(– 0) = 0, то
и A = – U0/R. Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности
Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б) аналогичен кривым для uC(t) и i(t) в RC-цепи.
2. Замыкание цепи RL накоротко. Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I0 (рис. 15.5, а), описываются однородным уравнением (u0(t) = 0);
Рис. 15.5
общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую
Из начального условия имеем i(0) = I0 = A, поэтому окончательно
а напряжение на катушке равно
Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б. Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение – I0R, после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивления R0 >> R (изображено штриховой линией на рис. 15.5, а), модуль начального напряжения возрастет до значения I0(R + R0), что может привести к повреждению элементов цепи.
3. Включение к источнику синусоидального напряжения
где постоянная времени t = L/R.
Для нахождения частного решения рассмотрим установившийся режим в цепи при t ® Ґ по окончании переходного процесса. Используя комплексный метод, найдем комплексную амплитуду тока
где 
— полное сопротивление цепи;
j = arctg (wL/R)
— угол сдвига фаз между напряжением и током. Мгновенное значение установившегося тока равно
i'(t) = Im sin (wt + y – j),
где Im = Um/z — амплитуда установившегося тока.
Для определения постоянной A используем начальное условие
i(0) = i'(0) + A = Im sin (y – j) + A,
откуда A = – Im sin (y – j). Поэтому окончательно для тока имеем
i(t) = Im sin (wt + y – j) – Im sin (y – j) e-t/t.
Кривые тока в цепи, отвечающие этому выражению, изображены на рис. 15.6.
Рис. 15.6
Здесь, как и у рассмотренных выше зависимостей для uC(t) в емкостной цепи (см. рис. 15.3, а), возможно отсутствие апериодической составляющей тока переходного процесса (i" = 0), если начальная фаза напряжения в момент включения y = j, и sin (y – j) = 0. Наоборот, апериодическая составляющая максимальна, если y – j = p/2, и ее начальное значение равно амплитуде тока Im. В этом случае максимальное значение тока imax отмечается через полпериода после включения. Поскольку к этому моменту апериодическая составляющая уже успевает уменьшиться, максимальное значение Ѕ imaxЅ» Im (1 + e–p/wt) не может превысить удвоенной амплитуды тока Im. Отношение KI = Ѕ imaxЅ /Im — ударный коэффициент — тем ближе к двум, чем больше значение параметра wt = wL/R — добротность контура.
