20.3. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ
Во многих системах переработки информации, в частности, цифровых системах, используют дискретные сигналы, представляющие последовательность импульсов (рис. 20.6), в промежутках между которыми интенсивность равна нулю. Импульсные системы, в которых применяют подобные сигналы, обладают рядом преимуществ, что и обусловило их широкое распространение.
a)
б)
Рис. 20.6
При анализе электрических цепей, находящихся под воздействием таких последовательностей, примем следующие допущения:
1) импульсы имеют одинаковую форму;
2) шаг следования импульсов T (шаг дискретизации процесса) постоянен.
Поскольку в цифровых системах для представления величин используется ограниченное число разрядов, сигнал, представленный в цифровой форме, дискретизируется также и по уровню и может принимать лишь определенные значения. Однако мы не будем учитывать этого ограничения, считая, что уровень сигнала может быть любым.
Задачу расчета электрической цепи, находящейся под действием последовательности импульсов, можно решать и традиционными средствами анализа переходных процессов (с помощью преобразования Лапласа, интеграла свертки), однако это связано с большими трудностями, возникающими уже при описании дискретного сигнала.
Приведем математическое описание последовательности импульсов. В распространенном случае импульсы имеют прямоугольную форму, одинаковую длительность Tи и переменную амплитуду fk (см. рис. 20.6, а). Математическое описание такой последовательности, начинающейся при t = 0, имеет вид суммы
При малой длительности импульсов их можно описать с помощью d-функции (рис. 20.6, б)
где f*k — площадь k-го импульса.
Для последовательности импульсов сложной, но одинаковой формы (рис. 20.7) аналогично получим
где fn(t') — закон изменения интенсивности одиночного импульса с начальной интенсивностью, равной единице (t' = t – kT, fn(0) = 1), действие которого начинается при t' = 0, fk – характеристика интенсивности k-го импульса.
Рис. 20.7
Как следует из записанных соотношений, импульсная последовательность описывается тремя характеристиками: временной зависимостью fn(t'), шагом дискретизации T и числовой последовательностью fk, определяющей закон изменения амплитуд или площадей импульсов. Последняя может рассматриваться как функция дискретного аргумента k (решетчатая функция, значение которой определено лишь в фиксированные моменты времени, рис. 20.8).Будем обозначать такие функции f[k].
Рис. 20.8
Таким образом, задачу расчета цепи, находящейся под действием дискретной последовательности, можно сформулировать как задачу нахождения по заданному входному сигналу, описываемому решетчатой функцией f1[k], выходного сигнала f2[k]. При этом выходной сигнал может быть либо также дискретным, либо непрерывным. В последнем случае решетчатая функция f2[k] представляет собой его выборку через равные промежутки времени T.
При рассмотрении функций дискретного времени понятие производной d/dt теряет смысл. Поэтому дифференциальные уравнения, переходят в разностные, связывающие значения f1[k] в отдельные моменты времени. Вместо преобразования Лапласа, включающего функцию f(t) под знаком интеграла, приходим к дискретному преобразованию Лапласа или к так называемому z-преобразованию (преобразованию Лорана), содержащему решетчатую функцию f[k] под знаком суммы.
