29.2. ОСОБЕННОСТИ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Поскольку формы кривых тока и напряжения при периодических режимах в нелинейной цепи заранее неизвестны, то их расчет проводят теми же методами, что и при анализе переходных процессов — интегрированием дифференциальных уравнений.
В простейших случаях — при питании цепи с инерционными элементами от источника синусоидального сигнала, а также в тех случаях, когда можно заранее предположить, что токи и напряжения близки к синусоидальным, — то можно пренебречь высшими гармониками и перейти к эквивалентным синусоидам, замещающим действительные кривые токов и напряжений. Такой метод расчета называется методом гармонической линеаризации и позволяет перейти к описанию нелинейной цепи с помощью комплексных токов и напряжений, а также применять частотные методы анализа. При этом нелинейный характер цепи учитывается при введении связей между действующими значениями (или амплитудами) сигналов.
Рассмотрим применение метода к расчету цепи (рис. 29.2) с последовательным соединением нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой i = au³ и индуктивности L, питаемой от источника синусоидального напряжения u0 = Um0 sinwt. При расчете методом гармонической линеаризации
|
Рис. 29.2 |
характеристика нелинейного элемента учитывается выражением, связывающим амплитуды первых гармоник тока Im и напряжения элемента UmR, полученным выше: Im = kR aUmR³ (при синусоидальном напряжении на элементе kR = 3/4 = 0,75, а при синусоидальном токе kR = 1/1,16³ » 0,68). Вольтамперные характеристики для амплитуд первых гармоник изображены на рис. 29.1,а (кривая 2 — для синусоидального напряжения, кривая 3 — для синусоидального тока). Так как эквивалентные синусоиды напряжений UmL и UmR имеют фазовый сдвиг 90о, они связаны с амплитудами входного напряжения Um0 и тока Im условиями: |
; 
.
Это позволяет получить нелинейное уравнение для амплитуды эквивалентной синусоиды напряжения на резисторе
,
решение которого при заданном Um0 дает значение UmR. Однако при таком подходе к решению возникает неопределенность, связанная с тем, что значение коэффициента kR зависит от режима цепи, который заранее неизвестен и, строго говоря, не является синусоидальным ни по напряжению, ни по току. Если заранее или в процессе расчет будет установлено, что из двух слагаемых решаемого уравнения преобладающим является напряжение на резисторе UmR, то цепь ближе к режиму синусоидального напряжения на резисторе, и значение kR следует принять равным 0,75. Если, наоборот, преобладающим слагаемым в решаемом уравнении является напряжение на линейной индуктивности UmL, то она определяет ток в цепи, которых будет близок к синусоидальному; соответственно принимаем kR = 0,68. В промежуточных случаях, когда UmR и UmL одного порядка, и ни одна из величин не будет синусоидальной, можно принять некоторое промежуточное значение kR. Это не повлияет существенно на точность результата, поскольку оба предельных значения kR достаточно близки друг к другу, что определяется относительно слабым влиянием высших гармоник в исследуемой схеме.
Таким образом, метод гармонической линеаризации обеспечивает достаточно точные результаты лишь для цепей с инерционными элементами, а для остальных нелинейных цепей он является приближенным. Он дает относительно небольшую погрешность при слабом проявлении высших гармоник — в квазилинейных системах, например, при анализе малосигнального режима электронных цепей, в цепях, содержащих трансформаторы с ферромагнитным сердечником, а также при каскадном соединении звеньев, включающих звенья с узкой полосой пропускания, подавляющие сигналы с частотами вне этой полосы.
Реально в рассматриваемой цепи с последовательным соединением безынерциолнного резистора и индуктивности (см. рис. 29.2) несинусоидальны ток i и оба напряжения uR и uL: так как истинная форма кривой тока i в цепи отлична от синусоиды, то напряжение uL = L di/dt, также несинусоидально. Поскольку uR + uL = u0 = Um0 sin wt, то высшие гармоники в кривых uR и uL компенсируют друг друга, и все три величины отличны от синусоиды.
Более точен метод гармонического баланса, использующий представление временных зависимостей для uR(t), uL(t) и i(t) в виде сумм, включающих члены, соответствующие нескольким гармоникам, например, 1-й и 3-й (uR = Um1sin(wt + y1) +Um3sin(3wt + y3)). Подставляя указанное выражение в уравнение цепи uR + L di/dt = u0 и соотношение для характеристики нелинейного резистора u(i) и группируя члены, отвечающие отдельным гармоникам, получим уравнения для амплитуд и начальных фаз гармоник.
