Тема 21. УСТОЙЧИВОСТЬ И ГЕНЕРАЦИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
(задачи с решением)
Перейти к задачам без решения
|
Задача 21.1. Определить, являются ли устойчивыми цепи, описываемые следующими характеристическими уравнениями: а) 3λ2 + 2λ + 1, б) 3λ2 - 2λ + 1, β) 3λ2 +2λ - 1, г) 2λ3 + λ2 + λ + 1, д) 2λ3 - λ2 + λ + 1, е) 2λ3 + λ2 + 1. |
Для квадратного уравнения необходимым и достаточным условием нахождения корней в левой полуплоскости Re(λk) < 0 является положительность всех его коэффициентов аk. Поэтому цепь с характеристическим уравнением а) устойчива, а б) и в) — нет. Для уравнений более высоких порядков условие положительности всех коэффициентов является необходимой, но недостаточной. Поэтому в случае г) осуществим проверку по критерию Гурвица. Для рассматриваемого уравнения третьего порядка определитель Гурвица имеет вид
.
Его минор 
, что свидетельствует о неустойчивости. В случаях д) и е) такая проверка не требуется, поскольку здесь не выполняется условие положительности коэффициентов, и, следовательно, эти цепи неустойчивы.
При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 23.
|
Задача 21.2. Определить область устойчивости цепи (рис. П21.1) по параметру k. Возможен ли в цепи режим автоколебаний? Если да, то, при каком значении k? Определить частоту автоколебаний w'.
Рис. П21.1 |
Цепь устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Для определения их положения запишем для схемы узловые уравнения в операторной форме:
Здесь учтена связь U30 = kU20.
Равенство нулю главного определителя записанной системы приводит к характеристическому уравнению:
или
Необходимым и достаточным условием расположения в левой полуплоскости всех корней полинома второй степени является одинаковый знак всех его коэффициентов. В полученном выражении это условие выполняется при k < 5. Следовательно, при таких значениях k цепь устойчива.
При k = 5 характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни:
. Это означает, что в цепи при этом значении коэффициента усиления имеет место режим автоколебаний с частотой
.
При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 23.
