11.6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
Периодические сигналы. Активная мощность, выделяемая на участке цепи при протекании периодического тока, равна среднему за период T значению мгновенной мощности ui:
Однако при расчете цепи удобнее выражать активную мощность через спектральные характеристики напряжения и тока на рассматриваемом участке цепи:
Подставляя ряд для напряжения и в интеграл для мощности, получим после изменения порядка суммирования и интегрирования
Последний интеграл с множителем 1/T представляет собой сопряженное выражение комплексных коэффициентов ряда Фурье для тока:
Поэтому ряд для активной мощности можно преобразовать к виду P = 
. Выразим комплексные коэффициенты 
, 
через комплексные амплитуды гармоник напряжения и тока 
; 
. Используя полученные ранее связи, найдем 
; 
. Это позволяет переписать ряд для активной мощности:
Группируя члены с положительными и отрицательными индексами, учитывая четность амплитуд и нечетность начальных фаз и используя для угла сдвига фаз напряжения и тока обозначение jk = yuk – yik запишем окончательно:
где U0, I0 — постоянные составляющие напряжения и тока; Uk, Ik — действующие значения напряжения и тока k-й гармоники.
Для постоянной составляющей (k = 0) произведение 
= U0I0, что и учтено в полученной формуле.
Таким образом, активная мощность при несинусоидальном токе равна сумме активных мощностей отдельных гармоник Pk = UkIk cos jk. Этот результат не является следствием принципа наложения, неприменимого к квадратичным функциям, к которым относится активная мощность. Он определяется ортогональностью синусоидальных функций, отвечающих отдельным гармоникам, произведение которых интегрируется на периоде T. Напомним, что ортогональными называются функции, интеграл от произведения которых на промежутке интегрирования равен нулю.
Аналогично находят действующее значение несинусоидального напряжения, так как в его общем определении U2 = 1/T 
отличие от выражения для активной мощности состоит в том, что интегрируется произведение напряжения на самое себя. Поэтому все выкладки при выводе выражения для и2 повторяют только что выполненные с заменой i на u. Окончательно получим спектральное представление действующего значения напряжения:
или 
т. е. действующее значение несинусоидального напряжения равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений отдельных гармоник напряжения Uk = Ukm/
и постоянной составляющей U0. Для действующего значения тока аналогично имеем
Полученные выражения для действующих значений позволяют обоснованно подойти к оценке числа гармонических составляющих, которое обеспечивает заданную точность определения энергетических характеристик сигналов при расчете частотным методом. Так, для периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 11.3, а) точное значение действующего значения напряжения легко найти непосредственным интегрированием:
В табл.11.1 приведены относительные величины действующего значения Un/U0, вычисленные с учетом различного числа членов n в спектральном представлении u/U0. Из приведенных данных следует, что при достаточно быстрой сходимости ряда действующих значений гармоник (при Tи/T0 = 0,5) достаточно точные результаты для
| Таблица 11.1 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| действующего значения можно получить, учитывая постоянную составляющую (k = 0), первую и третью гармоники (при Tи/T0 = 0,5 четные гармоники в разложении отсутствуют). Однако при малой относительной длительности импульсов (Tи/T0 = 0,1) сходимость ряда действующих значений медленная, и для достижения заданной точности требуется учет существенно большего числа гармоник. |
|||||||||
Непериодические сигналы. Выразим энергию, выделяемую на участке цепи W = 
, через спектральные плотности напряжения и тока U(jw) и I(jw). Для этого подставим в последний интеграл представление напряжения с помощью формулы обратного преобразования Фурье
При перемене порядка интегрирования получим для энергии 
. Внутренний интеграл можно записать как сопряженное значение спектральной плотности тока: 
. Поэтому в результате для энергии участка цепи получим спектральное представление 
. Квадратичная интегральная характеристика 
называется энергией сигнала f(t). Хотя по размерности этот интеграл отличается от энергии, если f(t) является напряжением или током, этот интеграл выражает энергию, выделяемую в резистивном элементе R, при подаче на него напряжения u(t), когда 
. Аналогично 
, если i — ток, протекающий через R.
Спектральное представление энергии сигнала найдем, используя замену обозначений в полученном выше выражении для энергии:
Поскольку модуль |F(jw)| — четная функция частоты, то можно ограничиться интегрированием в положительной области частот
Это соотношение, называемое теоремой Парсеваля, выражает энергию сигнала как сумму энергий его частотных составляющих. Оно позволяет оценить роль отдельных участков спектра с точки зрения их вклада в энергию сигнала.
Пусть
Энергию такого сигнала сначала вычислим непосредственно:
.
На основании теоремы Парсеваля для энергии, заключенной в полосе частот от 0 до w, используя Фурье-изображение сигнала
,
найдем
Полученное выражение позволяет оценить распределение энергии в спектре сигнала. Расчет по последней формуле показывает, что при w = a имеем W(w) = 1/4a. Это составляет половину от полной энергии сигнала; в полосе частот |w| < 6,3 a сосредоточено 90% полной энергии. Такая оценка позволяет обоснованно подойти к ограничению диапазона частот, в котором производится анализ цепи частотным методом.
задачам по теме данной лекции
