Pис. 15.11

Рассматриваемый переходный процесс (рис. 15.11) описывается системой уравнений: Ri + L di/dt + uC =  u0(t); i = С duC/dt, которую можно привести к одному уравнению для тока. Для этого продифференцируем первое уравнение, подставим значение duC/dt = i/C из второго уравнения и получим уравнение второго порядка   .

Так как левая часть полученного уравнения совпадает с уравнением, описывающим разряд конденсатора в колебательном контуре, его общее решение содержит два экспоненциальных члена с теми же корнями, что и для рассмотренных в п.15.5 случаев разряда конденсатора.

Включение контура к источнику постоянного напряжения (u₀(t) = U₀ = const). Поскольку в данном случае правая часть полученного уравнения пропадает, так как dU₀/dt = 0, то общее решение для тока, полученное в п. 15.5 для соответствующего однородного уравнения, i = A₁e^λ₁^t + A₂e^λ₂^t сохраняет силу. Соответственно сохраняется и начальное условие i(0) = 0, так как ток в индуктивном контуре является переменной состояния. Начальное условие для производной di/dt найдем из первого уравнения исходной системы. Если конденсатор в момент включения не был заряжен (u_C(0) = 0), то при t = 0 из первого уравнения получим di/dt(+0) =U₀/L. Это лишь знаком отличается от значения производной, полученного для разряда. Следовательно, при данных начальных условиях получим те же решения для тока, что и в предыдущем параграфе, но с противоположным знаком:

  .  

Такое же изменение имеем и для напряжения на индуктивности

а напряжение на конденсаторе теперь определим из первого уравнения: и_C = U₀ — Ri — L di/dt. Подставляя полученные выражения и группируя члены, окончательно получим

Наличие постоянного слагаемого U₀ показывает, что и_C является решением неоднородного уравнения.

Поскольку выражения для тока i и напряжения u_L отличаются лишь знаком от полученных для случая разряда конденсатора, то их анализ приводит к тем же выводам. Несущественно изменяется и характер зависимости и_C(t): если при разряде это напряжение изменялось от значения U₀ до нуля, то теперь в начале процесса имеем U_C(0) = 0, а при t = ¥ u_C' =U₀. Поэтому практически все сказанное выше без существенных изменений переносится и на анализ кривых и_C(t). В апериодическом (при R >ЦL/C) и колебательном (при R < 2ЦL/C) режимах зависимости тока i и напряжения и_C имеют характер, изображенный на рис. 15.12, а, б соответственно.

Pис. 15.12

Включение контура к источнику синусоидального напряжения (u₀ (t) = U _т0 sin(ωt + ψ_u)). В этом случае дифференциальное уравнение для тока неоднородное (правая часть отлична от нуля), поэтому его общее решение включает слагаемое i', представляющее частное решение этого уравнения. Поскольку правая часть имеет синусоидальный характер, то это частное решение будет представлять ток установившегося режима после окончания переходного процесса: i' = I_m sin(ωt  + ψ_i), где I_m=U _т0/z;  — полное сопротивление цепи; ψ_i = ψ_u- φ — начальная фаза тока i; φ = arctg (ωL— 1/ωC)/R — угол сдвига фаз между током и напряжением. Таким образом, общее решение для тока в рассматриваемом случае имеет вид

i = I_m sin(ωt  + ψ_i) +  A₁e^λ₁^t + A₂e^λ₂^t,

где λ_1,2 — корни характеристического уравнения колебательного контура (15.1).

При определении постоянных используем начальные условия i(0) = 0 и u_C(0) = 0, принимая, что конденсатор в момент включения не был заряжен. В этом случае начальное значение производной di/dt(+0), определенное из первого уравнения исходной системы уравнений при t = 0, равно

Уравнения, определяющие значения постоянных А₁ и A₂, получим из общего решения для тока и его производной, взятых при t = 0:

Преобразуем разность членов, входящих в последнее уравнение:

Поскольку z cosφ = R, а  z sinφ = ωL — 1/ωC, то рассматриваемое выражение можно переписать в виде:

Учитывая соотношения между корнями характеристического уравнения λ₁+ λ₂ = — R/L и λ₁λ₂ = 1/LC, вытекающее из теоремы Виета, запишем преобразуемое выражение в окончательной форме

С учетом выполненных преобразований система для нахождения постоянных  А₁ и A₂ принимает вид:

   A₁ + A₂ = — I_msin ψ_i;

λ₁A₁+ λ₂A₂ = — I_m((λ₁+ λ₂)sin ψ_i + (λ₁λ₂ /ω)cos ψ_i). 

Найдем далее решение полученной системы:

Это приводит с следующему общему виду для тока в контуре при включении

Рассматривая далее контур с высокой добротностью (R << 2ЦL/C), у которого комплексные корни  λ_1,2 = - δ = ± jω' (δ = R/2L;   ) характеризуют колебательный характер процесса, и используя результаты преобразования скобок с экспоненциальными членами, полученными при анализе колебательного разряда конденсатора,

а также связь λ₁λ₂ = 1/LC = ω₀, перепишем результат для тока в виде

i (t) = I_m sin(ωt  + ψ_i) + I_m sinψ_i e^-δt(- cosω't+ /ω') sinω't) - I_m cosψ_i e^-δt sinω't/(ωω'LC) =

I_m sin(ωt  + ψ_i) + I_me^-δt {-sinψ_i cosω't + [-(ω₀²/ωω')cosψ_i + (δ/ω')sinψ_i] sinω't}.

Представляет интерес резонансный режим, когда частота со внешнего источника, действующего на цепь, совпадает с частотой собственных колебаний контура ω'. Если дополнительно учесть, что для контура с высокой добротностью δ << ω', а ω' » ω₀ (ω₀ = 1/ЦLC  — собственная частота контура без потерь), то последний результат при ω = ω' = ω₀ можно переписать в более простой форме, пренебрегая членом, содержащим множитель δ:

i (t) = I_m sin(ωt  + ψ_i) - I_m e^-δtsin(ωt  + ψ_i) = I_m sin(ωt  + ψ_i)(1 - e^-δt).

Характер изменения тока высокодобротного контура при включении в резонансном режиме имеет вид синусоиды с экспоненциально модулированной огибающей, приближающейся к установившемуся режиму, в котором амплитуда постоянна и равна I_т (рис. 15.13).

Pис. 15.13

Если значение частоты источника со близко к ω', но не равно ей, а контур по-прежнему высокодобротный (δ << ω' и ω' » ω₀), то, принимая (ω₀²/ωω' = 1, δ/ω' =0, запишем

i (t) = I_m sin(ωt  + ψ_i) - I_m e^-δtsin(ω't  + ψ_i).

Начальная часть процесса, пока δt <<1 и e^-δt » 1, описывается выражением

i (t) = I_m sin(ωt  + ψ_i) - I_m sin(ω't  + ψ_i) =

которое представляет модулированные колебания с угловой частотой (ω + ω')/2, близкой к частоте источника ω, амплитуда которых изменяется по синусоидальному закону с частотой (ω - ω')/2, существенно меньшей частоты ω (рис. 15.14). Подобный вид модулированных колебаний носит название биений. Нетрудно понять, что учет 

Рис. 15.14

члена e^-δt, определяющего затухание свободной составляющей тока, обусловливает затухающий характер огибающей колебаний подобно изображенному на рис. 15.10. Следовательно, процесс установления синусоидального тока в высокодобротных контурах при частоте источника ω, близкой к собственной частоте контура ω', длится в течение многих периодов.

Конец 15-й лекции

---

Обратно к плану данной лекции
Перейти к задачам по теме данной лекции
К выполнению расчетного задания № 3а
Дальше к плану следующей лекции