16.4. СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ПАССИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
После исключения избыточных переменных (напряжений резистивных ветвей деревьев и токов резистивных связей) получим систему уравнений, выражающих напряжения на индуктивных элементах цепи и токи в емкостях через переменные состояния. В матричной форме эти уравнения имеют вид
.
где члены 
и 
определяют вклад независимых источников ЭДС и тока в рассматриваемые напряжения и токи.
Выделенные блоки гибридной матрицы Н обладают следующими свойствами: элементы НLL имеют размерность сопротивления; НCC — размерность проводимости; НLC и НCL являются безразмерными. В пассивной цепи блоки НLL и НCC являются симметричными, а между другими блоками имеется связь НLC = – НCLt, следующая из принципа взаимности. Диагональные элементы матрицы Н в пассивной цепи неположительны. Последнее проще всего показать, используя замену динамических элементов цепи эквивалентными источниками. Диагональный элемент матрицы НLL, представляет собой взятое со знаком “минус” входное сопротивление относительно зажимов источника тока, эквивалентирующего данную индуктивность при закороченных остальных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока. Напомним, что направления uL и iL на эквивалентном источнике совпадают, а падение напряжения, вызываемое током J = iL во внешней по отношению к нему цепи, имеет знак, противоположный uL. Таким же образом объясняются отрицательные знаки диагональных элементов блока НCC — эти элементы равны входным проводимостям рассматриваемой цепи относительно зажимов источника ЭДС e = – uC, эквивалентирующего данный конденсатор.
Проиллюстрируем сказанное на примере цепи рис. 16.5.
Рис. 16.5
При выборе положительных направлений переменных состояния получим систему гибридных уравнений:
Анализ членов приведенных уравнений подтверждает высказанные выше соображения о связях между элементами гибридной матрицы.
Переходя далее к формированию уравнений состояния из полученной гибридной системы, выразим напряжения uL и токи iC через переменные состояния. Их связь дается компонентными уравнениями и в общей матричной записи имеет вид
Выделенные блоки компонентной матрицы K выражают:
L — матрицу индуктивностей рассматриваемой цепи, С
— матрицу емкостей. При отсутствии индуктивных связей между катушками цепи L — диагональная матрица.
Использование гибридной матрицы Н позволяет привести компонентные уравнения к форме уравнений состояния
Полученные уравнения можно представить так:
.
Отдельные элементы последнего матричного уравнения выражаются через введенные выше величины следующим образом:
;
.
Эти соотношения определяют свойства матрицы А, вытекающие из отмеченных ранее свойств матриц K и Н.
