18.2. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ
Итак, какие задачи расчета переходных процессов в электрических цепях приводят к жестким системам?
В качестве простейшего примера проанализируем уже решавшуюся задачу о разряде конденсатора в колебательном контуре. Рассмотрим выражения, определяющие процесс разряда (п. 15.5), при соотношении между параметрами контура L << R2C.
Перепишем выражение для корней характеристического уравнения следующим образом:
.
При выполнении указанного неравенства вычитаемое в подкоренном выражении мало
(L/R2C << 1), и с помощью приближенной формулы 
(a << 1) можно получить приближенные представления для l1,2
Отсюда найдем
;
|
малый член |
|
¯ |
|
|
Нетрудно убедиться, что при выполнении приведенного выше неравенства между параметрами цепи имеем ½l1½ >> ½ l2½. Это свидетельствует о том, что система дифференциальных уравнений, описывающая процесс в колебательном контуре при L << R2C, является жесткой.
В рассматриваемом приближении выражение для тока в контуре можно привести к виду
.
Поскольку при указанном соотношении между параметрами RC >> L/R, то разрядный ток, изображенный на графике (рис. 18.1), имеет две стадии: крутой фронт, когда за весьма малое время Tф ток нарастает от нулевого значения до максимума, практически равного U0/R, и медленный спад (Tф £ t £ T).
Рис. 18.1
Из приведенного выражения следует, что на начальную. часть процесса t < Tф изменение первого экспоненциального члена
практически не оказывает влияния, так как вследствие указанных соотношений между параметрами контура на фронте импульса при t < Tф ½l1t½ << 1, и можно принять
. Следовательно, рассматриваемая начальная
часть процесса как бы происходит без участия емкости, напряжение на которой практически неизменно, а процесс нарастания тока в контуре имеет такой же
характер, как и в цепи RL, подключенной к источнику напряжения
U0. После достижения максимума тока
(t > Tф) соотношения между параметрами контура позволяют пренебречь вторым экспоненциальным слагаемым в выражении для тока. Поэтому на спад тока в контуре не оказывает влияния малая индуктивность, и этот процесс имеет такой же характер, как и разряд конденсатора на резистор в безындукционной цепи
RC. Таким образом, при выполнении неравенства L << R2C разряд в контуре состоит из быстрого процесса, определяемого экспонентой с большим по модулю показателем
, и медленного процесса, которому соответствует член
.
При численном интегрировании с помощью явных методов шаг h по соображениям устойчивости должен выбираться так, чтобы для всех корней характеристического уравнения выполнялось неравенство ½1 + lh½ < 1. Отсюда следует, что наличие большого по абсолютному значению корня характеристического уравнения l2 требует при использовании явной схемы весьма малого шага интегрирования. Длительность же всего переходного процесса в контуре T, как следует из выражения для тока, определяется экспонентой с малым по абсолютному значению показателем l1t. Практически эта длительность может быть определена из условия ½l1t½ = 3 ¸ 5.
Таким образом, применение явной схемы к интегрированию жесткой системы требует для полного анализа переходного процесса непомерно большого числа шагов. Оценки показывают, что эта трудность не может быть преодолена за счет повышения быстродействия используемых при решении задачи вычислительных средств.
Иначе обстоит дело при использовании неявных схем численного интегрирования, где выбор шага диктуется, в первую очередь, соображениями точности решения. Однако реализация неявных схем сложнее, так как здесь на каждом шаге интегрирования приходится решать системы алгебраических уравнений.
Проявление жесткости системы дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в электрических цепях, характерно при учете в схеме рассматриваемой цепи элементов, параметры которых оказывают в целом малое влияние на переходный процесс. В рассмотренных выше примерах таким слабо влияющим параметром была малая индуктивность контура
L (если нас интересовала часть переходного процесса, связанная со спадом тока в цепи). Если же, наоборот, при анализе процессов в колебательном контуре интерес представляет начальная часть переходного процесса, то, как мы установили, на этой стадии слабо влияющим параметром является емкость конденсатора
C. Для описания этой стадии можно использовать упрощенную расчетную
RL-модель, к которой приходим, полагая в уравнениях, описывающих процесс разряда,
.
