24.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
В дополнение к установленному ранее свойству передаточных функций вещественности и характеру расположения корней знаменателя в левой полуплоскости рассмотрим некоторые особые их свойства, существенные при реализации передаточных функций.
Поскольку передача пассивной цепи является конечной как на постоянном токе, так и при бесконечно большой частоте, значения K(s) при s = 0 и s = ¥ должны быть конечными — указанные точки плоскости s не могут быть полюсами передаточной функции. Отсюда также следует, что число нулей передаточной функции не превышает числа ее полюсов. Таким образом, в отличие от входной функции, у которой степени полиномов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу, степень полинома числителя передаточной функции может быть либо равна степени знаменателя, либо сколь угодно меньше ее.
Угол сдвига фаз между входной и выходной величинами при синусоидальном режиме четырехполюсника может принимать любые значения. Поскольку при фазовом сдвиге, превышающем p/2, вещественная часть K(s) на мнимой оси — при s = jw — принимает отрицательные значения, условие положительности, необходимое для реализуемости входной функции, не является необходимым для передаточной функции.
Еще одним свойством безразмерной передаточной функции пассивной цепи по напряжению или по току является условие
K(s) £ 1
при s = s ³ 0, причем равенство модуля единице может достигаться лишь при крайних значениях s = 0 и s = ¥.
Последнее условие может быть пояснено следующим образом. При вещественных положительных значениях s = s любая пассивная цепь переходит в чисто резистивную, так как катушки и конденсаторы заменяются резисторами с сопротивлениями sL и 1/sС. При подаче напряжения на вход такой резистивной цепи ее входные зажимы будут иметь определенные значения потенциалов. Потенциалы всех остальных узлов, включая выходные, будут лежать между этими крайними значениями, в предельном случае возможно лишь их совпадение. Аналогично при питании резистивной цепи от источника тока деление тока между ветвями цепи приводит к тому, что ток выходной ветви составляет лишь часть входного тока. Таким образом, в обоих случаях модуль передаточной функции не превышает единицы.
Из этого условия следует, в частности, что каждый коэффициент полинома числителя не превосходит по абсолютному значению соответствующего коэффициента полинома знаменателя. Покажем это на примерах.
Положительные вещественные функции и (s3 + s)/(2s2 + 1) и (s2 + s + 2)/(s2+2s) не могут быть передаточными функциями пассивной электрической цепи, так как они имеют полюсы при s = ¥ и s = 0. Функция (s2 + 2s + 1)/(s2+1) также не является передаточной функцией пассивной цепи, так как для нее K(s) = 1+2s/(s2 +1) > 1 при s > 0.
Функция 1/(s2+1) не являющаяся положительной, как будет показано в дальнейшем, может быть передаточной функцией пассивной цепи.
Как известно (см. п. 12.6), передача четырехполюсника по напряжению или току определяется не только его параметрами, но и зависит от сопротивления нагрузки. В дальнейшем ограничимся рассмотрением реализации передаточных функций четырехполюсника в режиме холостого хода (при бесконечно большом сопротивлении нагрузки) и в режиме характеристического согласования.
