Матричную экспоненту e^At, где А — квадратная матрица порядка n, можно вычислить из степенного разложения

,

откуда следует, что и e^At представляет собой квадратную матрицу порядка n.

Численное определение элементов e^At осуществляется с помощью следующей процедуры: 1) с помощью приведенного отрезка ряда Тейлора находят достаточно точное значение j₀ = e^Ah для малого h; 2) последовательно находят величины j_k+1 = j_k² (k = 0, 1, 2, …, n), определяющие при H = 2h, 4h, 16h, …

Аналитические выражения элементов матрицы e^At можно получить с помощью формулы Сильвестра

,

где λ —корни характеристического уравнения — собственные числа матрицы А.

Для n = 2, когда

,

элементы матрицы e^At  выражаются следующим образом:

,

где λ_1,2 — корни характеристического уравнения

.

Для комплексно сопряженной пары корней λ_1,2 = – δ ± jω приведенное выражение преобразуется к виду

.