11.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛОВ

Фурье-изображения — комплексные коэффициенты ряда Фурье F(jw_k) периодического сигнала (11.4) и спектральная плотность F(jw) непериодического сигнала (11.5) — обладают рядом общих свойств.

1. Линейность. Интегралы (11.4) и (11.5) осуществляют линейное преобразование функции f(t). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f(t) = a₁f₁(t) + a₂f₂(t), то F(jw) = a₁F₁(jw) + a₂F₂(jw), где F₁(jw) и F₂(jw) — Фурье-изображения сигналов f₁(t) и f₂(t), соответственно.

2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f₂(t), задержанный на время t₀ относительно сигнала f₁(t), имеющего такую же форму: f₂(t) = f₁(t – t₀). Если сигнал f₁ имеет изображение F₁(jw), то Фурье-изображение сигнала f₂ равно F₂(jw) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:

.

Поскольку последний интеграл равен F₁(jw), то F₂(jw) = e^-jwt0 F₁(jw). Таким образом, при задержке сигнала на время t₀ (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt₀, пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t₀ уменьшаются на wt₀.

3. Симметрия. Для действительного f(t) изображение F(jw) обладает сопряженной симметрией: F(– jw) = . Если f(t) — четная функция, то Im F(jw) = 0; для нечетной функции Re F(jw) = 0. Модуль |F(jw)| и вещественная часть Re F(jw) — четные функции частоты, аргумент arg F(jw) и Im F(jw) — нечетные.

4. Дифференцирование. Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f(t) с изображением самого сигнала

Для абсолютно интегрируемой функции f(t) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F(jw). Поэтому Фурье-изображение производной df/dt связано с изображением самого сигнала соотношением jwF(jw) — при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на jw. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F(jw_k), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T/2 до + T/2. Действительно, произведение в соответствующих пределах

Поскольку вследствие периодичности функции f(T/2) = f(– T/2), а = = = (– 1)^k, то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула

где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n-й производной имеем: dⁿf/dtⁿ(jw)ⁿF(jw). 

Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f(t) — кусочно-линейная функция, то ее производная df/dt — кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла  функции f(t) ее изображение следует разделить на jw.

Пример использования этого пути к нахождению Фурье-изображения рассмотрен в Задаче 10.1.

5. Дуальность времени и частоты. Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:

Для сигнала f(t), являющегося четной функцией времени f(– t) = f(t), когда спектральная плотность F(jw) — вещественная величина F(jw) = F(w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:

При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F(w) представляет спектральную плотность четной функции времени f(t), то функция 2pf(w) является спектральной плотностью сигнала F(t). Для нечетных функций f(t) [f(t) = – f(t)] спектральная плотность F(jw) чисто мнимая [F(jw) = jF(w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF(w) соответствует нечетной функции f(t), то величина j2pf(w) представляет спектральную плотность сигнала F(t). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.