11.4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ, ЕЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Анализ спектра прямоугольного импульса (см. рис. 11.5) показывает, что хотя он, как и любой сигнал конечной длительности, имеет бесконечный спектр, наиболее существенная его часть — центральный лепесток — заключена в области частот от – 2p/T до 2p/T (T — длительность импульса). Поэтому с уменьшением длительности сигнала T ширина его спектра Dw = 4p/T увеличивается. Подобную связь можно получить и для других сигналов и их спектров, существующих в неограниченном интервале времени и частоты, вводя тем или иным образом понятие эффективной длительности сигнала DT и ширины полосы частот Dw. Произведение DT ·Dw для любого сигнала сохраняет постоянное значение и имеет порядок единиц.

Рассмотрим, как изменяется спектр прямоугольного сигнала с амплитудой F₀ (рис. 11.6) при сокращении его длительности T. Для того чтобы его спектральная плотность F(jw) = (2F₀/w) sin wT/2 сохраняла конечное значение, будем при предельном переходе T ® 0 рассматривать сигналы с постоянной площадью, равной единице: F^* = F₀T = F_kT_k = const = 1 (см. рис. 11.6).

Рис. 11.6

Переходя к пределу при T ® 0 в выражении для спектральной плотности прямоугольного сигнала в указанных условиях, получим = 1. Таким образом, сигнал с бесконечно малой длительностью, бесконечно большой амплитудой и площадью, равной единице, имеет постоянную спектральную плотность, равную единице, во всем диапазоне частот от - ¥ до ¥. Такой идеализированный импульсный сигнал называется дельта функцией и обозначается d(t). Он обладает свойствами:

В последнем интеграле по смыслу определения d(t) пределы интегрирования можно заменить конечными (– e, e). Все содержащиеся в спектре d-функции синусоидальные составляющие с частотами от 0 до 4 имеют одинаковые амплитуды. Этим определяется полезность d-сигнала в качестве тестирующего при исследованиях динамических систем. Исследование системы при подаче на ее вход весьма короткого импульса дает такую же информацию о поведении системы на любых частотах, как и исследование ее частотных характеристик при питании от источника синусоидального сигнала переменной частоты. Заметим, что использование для тестирования более продолжительного сигнала столь полной информации не дает. Так, в спектре прямоугольного сигнала не содержатся частоты, кратные 2p/T  (см. рис. 11.5).

Хотя реальные физические системы неспособны генерировать d-импульсы, такая идеализация при описании свойств коротких импульсов весьма распространена. Помимо сказанного выше, это описание упрощает анализ поведения систем при импульсных воздействиях малой длительности. В последующем будет показано, что реакция системы на такой импульс от конкретного вида его временной зависимости f(t), а определяется главным образом площадью импульса . Такой идеализированный подход предполагает, что анализ цепи под действием короткого импульса сводится к определению ее поведения при действии входного сигнала f₁(t) =f₁^* d(t).

При графическом изображении d-сигнала будем пользоваться символическим обозначением в виде вертикальной стрелки (рис. 11.7), высота которой определяет площадь импульса f^*. Функция d(t – T) выражает импульс такого же характера, возникающий в момент времени t = T.

Таким образом, вычисление интегралов, содержащих d-функцию в качестве подынтегрального сомножителя, фактически не требует интегрирования.