Для реализации передаточной функции 2-го порядка часто используют схему рис. 13.15 (схема Саллена – Кея).

Рис. 13.15

Выполним ее расчет методом узловых напряжений. Считая усилитель идеальным, составим уравнения для узлов 3 и 4 схемы. Используем вновь обозначение w для размерной частоты:

Напряжение выражается через входное напряжение усилителя : . Исключая из системы напряжения и , получим

,

откуда передаточная функция звена равна

Квадрат ее модуля имеет структуру

Для определения пяти параметров схемы: G₁, G₂, C₁, C₂ и k имеем лишь три уравнения. Это позволяет наложить дополнительные условия на параметры, например, G₁ = G₂ = 1/R; C₁ = C₂ = C. Тогда выражение передаточной функции примет вид

где t = RC. Перейдем к безразмерной частоте w_* = wt = wRC и найдем квадрат модуля полученного выражения

Теперь для обеспечения требуемых значений коэффициентов a₁ и a₂ в выражении передаточной функции звена достаточно определить коэффициент усиления каскада, приравнивая почленно знаменатель квадрата модуля K²() соответствующему сомножителю H².

Для звена 2-го порядка с максимально плоской характеристикой H² = 1/(1 + ), в знаменателе которого отсутствует член с , это приводит к равенству k² – 6k + 7 = 0, откуда k = 3 ± Ц2. Условие устойчивой работы звена, рассматриваемое в п. 23.2, ограничивает допустимое значение коэффициента усиления значениями k < 3, которому удовлетворяет k = 3 – Ц2 » 0,586.

При каскадной реализации фильтра 3-го порядка звену 2-го порядка отвечает сомножитель H² равный 1/(1 – + ). Это приводит к условию для коэффициента усиления звена k² – 6k + 7 = – 1, из которого k = 3 ± 1. Для устойчивой работы звена необходимо k = 2.

Для двухкаскадного фильтра 4-го порядка с характеристикой H² = 1/(1 + ) определим коэффициенты усиления усилителей каскадов, приравнивая знаменатели сомножителей, отвечающих отдельным каскадам, полученному выражению K²(); получаем равенства , имеющие устойчивые решения: k₁ = » 2,235 и k₂ = » 1,152. Параметры пассивных элементов звеньев во всех рассмотренных случаях связаны с частотой среза фильтров w_с соотношением w_cRC = 1, поскольку коэффициенты a₂  в выражениях для квадрата модуля H²(w²_*) равны единице.

Рассмотренные соотношения позволяют получить также характеристики для звена 1-го порядка, которое можно получить из рассмотренной схемы 2-го порядка (рис.13.15), исключая из нее любой из конденсаторов. Так, принимая C₁ = 0, для передаточной функции  звена 1-го порядка получим

где R_{1, 2} = 1/G₁; R₁  + R₂ = R. Параметры звена определяют аналогично путем приравнивания коэффициентов в сомножителях K_U и H².