28.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
Составленные уравнения нелинейной резистивной цепи представляют систему нелинейных функциональных уравнений (алгебраических или трансцендентных в зависимости от класса функций, описывающих нелинейные характеристики).
В общем виде такая система может быть записана в форме
fj(x1, x2,..., xm,..., xn) = 0, j = 1, 2,..., n,
где xm — искомые токи и напряжения. Основным способом решения таких систем является процесс последовательных приближений, наиболее быструю сходимость которого обеспечивает применение метода Ньютона.
Итерационная процедура метода базируется на уточнении приближенного решения, полученного на k-ой итерации, путем линеаризации функции f(x) в окрестности решения — аппроксимации ее начальным отрезком ряда Тейлора.
В случае одного уравнения 
такая линеаризация дает:
,
что приводит к следующей итерационной схеме:
;
.
Эта схема обобщается на случай многих переменных с помощью матричного аппарата. Исходная система имеет форму: f(x) = 0, где
; 
— вектор неизвестных.
Запишем схему многомерного метода Ньютона в матричной форме:
,
где J(x) — матрица Якоби,
.
Однако реализация изложенного метода часто наталкивается на существенные трудности. Его сходимость существенно зависит от выбора начального приближения; при неудачном выборе итерационный процесс может оказаться расходящимся. Он требует значительного объема вычислений, повторяемых на каждом шаге, — вычисления частных производных ¶fj/ ¶xi, обращения матрицы Якоби. При достаточно гладких функциях fj эту процедуру можно выполнять в цикле через несколько итераций, сохраняя в течение цикла элементы обратной матрицы неизменными.
Отмеченные проблемы приводят к тому, что наряду с методом Ньютона применяют и более простые методы, не требующие дифференцирования и обращения матрицы, хотя и обладающие более медленной сходимостью. Одним из них является метод простой итерации, для применения которого матричная система уравнений приводится к явному представлению искомых величин
x = F(x);
итерации осуществляются по схеме
x(k + 1) = F(x(k)),
т. е. следующее приближение непосредственно выражается через полученное на предыдущем шаге. Сходимость этого метода также не всегда гарантирована и требует специального исследования, однако в простых задачах он может приводить к решению быстрее чем метод Ньютона.
Заложенную в методе Ньютона идею линеаризации приращений искомых величин можно перенести на линеаризацию характеристик нелинейных элементов. Это ведет к аппроксимации на каждой итерации характеристик нелинейных элементов линейными отрезками, равносильной линеаризации цепи — замене нелинейных элементов линейными. Поскольку параметры линеаризованной схемы пересчитывают на каждой итерации, то такие схемы называют дискретными линеаризованными схемами.
Для нелинейного элемента, имеющего характеристику i(u) = f(u), линеаризация на k-го отрезка характеристики приводит к соотношению
.
Таким образом, дискретная линеаризованная схема рассматриваемого элемента включает параллельно соединенные проводимости Gk = di/du(uk) и источник тока Jk = ik – Gkuk (рис. 28.4), параметры которых находят по значениям тока и напряжения на элементе (ik и uk), полученным на k-й итерации в результате расчета всей цепи.
Рис. 28.4
При переходе к следующей итерации Gkи Jk пересчитывают и заменяют на Gk+1 и Jk+1. Аналогично аппроксимируются характеристики элементов, управляемых током u(i) = f(i):
,
которым соответствует дискретная линеаризованная схема, изображенная на рис. 28.5. Разумеется, не являются единственными, так как допускают взаимные преобразования источников тока и ЭДС.
Замена нелинейных резисторов цепи их дискретными эквивалентами приводит к линейной цепи, в которой можно применять все известные методы расчета таких цепей. После определения ik+1 и uk+1 их используют для пересчета параметров цепи и осуществления следующей итерации.
|
Рис. 28.5 |
Ускорению расчета способствует кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов. При такой аппроксимации не требуется пересчета дискретных параметров данного нелинейного элемента, пока соответствующие ему значения тока и напряжения в ходе итераций не вышли за пределы данного отрезка ломаной. |
Однако при кусочно-линейной аппроксимации возможно зацикливание итерационного процесса. Поясним это на примере решения одного нелинейного уравнения f(x) = 0. Графическая иллюстрация применения метода Ньютона в окрестности решения x = x0 и соответственно дискретных линеаризованных схем приведена на рис. 28.6, а,б. При кусочно-линейной аппроксимации функции f(x) (рис. 28.6, б) постоянство производных f '(x) на отрезках ломаной a и c приводит к тому, что процесс итераций зацикливается на значениях x2 и x3, и его сходимость к решению теряется. В то же время применение метода Ньютона к исходной задаче с нелинеаризованной функцией f(x) приводит к искомому решению (рис. 28.6, а).
Рис. 28.6
