Тема 3. КОНТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ (задачи с решением)

Перейти к задачам без решения

Используем сначала способ решения, основанный на преобразовании источника тока J₅ с параллельным резистором R₅ в эквивалентный источник ЭДС e₅ = J₅ R₅ с последовательным включением того же резистора (см. п. 4.3). Для полученной планарной схемы в качестве независимых контуров проще всего выбрать элементарные ячейки (рис. П3.1) с циркулирующими в них контурными токами i_1к, i_2к, i_3к, i_4к.

Рис. П3.1

Система контурных уравнений имеет общий вид:

Собственные сопротивления контуров — диагональные элементы матрицы контурных сопротивлений с одинаковыми индексами R_kk — определяются как сумма сопротивлений, входящих в k-й контур:

Общие сопротивления контуров — элементы матрицы контурных сопротивлений с различными индексами R_kn — находятся как сумма всех сопротивлений, входящих в контуры k и n. Эта сумма имеет знак “плюс”, если оба контурных тока в общих ветвях направлены одинаково, и знак “минус” — при их противоположных направлениях. В результате получим

При записи правых частей системы — контурных ЭДС e_kк — будем считать сначала все источники независимыми. Контурные ЭДС представляют алгебраическую сумму ЭДС всех источников, входящих в k-й контур. При этом положительными будут ЭДС, ориентированные так же, как и контурный ток:

В результате система контурных уравнений примет вид:

Выразим управляющие ток i₂ и напряжение u₅ через контурные токи, представляя токи в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этим ветвям:

i₂ = i_2к - i_3к; i_н = i_4к; i₄ = i_1к - i_4к. 

Составив уравнения Кирхгофа для контура, состоящего из ветвей с индексами “5”, “4”, “н”

находим для u₅

Подставив соотношения для i₂ и u₅ в систему контурных уравнений и сгруппировав члены, окончательно получим:

Решение системы дает следующие значения контурных токов: i_1к = 8,6× 10^–2 (мА); i_2к = 8,56× 10^–2 (мА); i_3к = 8,08× 10^–2 (мА); i_4к = – 7,88× 10^–2 (мА). Далее по указанному выше правилу определяем входной и нагрузочный токи:

результат для которых совпадает с полученным при анализе методом узловых напряжений (Задача 2.1).

Другой метод составления контурных уравнений состоит в выделении ветвей, включающих источники тока в обособленные контуры, в которых циркулирует только один контурный ток. Для таких контуров уравнения не составляются, так как соответствующий контурный ток равен току источника.

Применительно к рассматриваемой задаче (рис. П3.1) наряду с введенными выше контурами 1,2,3 и 4 введем дополнительно контур 5, замыкающийся через источник тока J₅ и резистор R₅, направление обхода которого совпадает с направлением тока источника. В результате приходим к системе четырех контурных уравнений, включающем пять контурных токов:

Общие сопротивления пятого контура с остальными равны:

,

а остальные члены системы совпадают с записанными выше, поскольку выбор контуров 1, 2, 3 и 4 сохранился.

Используя представление тока источника J₅ = i_5к = β(i_2к – i_3к), подставим его в систему. После группировки членов она принимает вид, тождественный полученному выше при использовании первого способа.

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 4.