Тема 14. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ (задачи с решением)

Перейти к задачам без решения

Для составления уравнений состояния цепи методом эквивалентных источников заменим динамические элементы — катушку источником тока, а конденсатор — источником ЭДС.

В результате получим резистивную цепь, изображенную на рис. П14.1, б. Следует обратить внимание на направления источников — они соответствуют исходно принятым направлениям отсчета токов i_L и напряжений u_C, указанным на рис. П14.1, а.

В этом же направлении отсчитывают напряжения u_L и токи i_C. В рассматриваемой схеме надо выразить напряжение u_L и ток конденсатора i_C  через параметры ее элементов. Простая структура цепи позволяет воспользоваться принципом наложения, при котором воздействие отдельных источников на всю цепь анализируют при исключении остальных источников:

.

Анализ отдельных частных режимов работы этой цепи приводит к очень простым результатам. Так, при действии источника J = i_L (и закороченном источнике e = - u_C и разомкнутом J₀) резисторы R₂ и R₃ соединены параллельно, так же, как и пара R₁, R₄, а между собой эти две пары резисторов включены последовательно. При действии только ЭДС e = - u_C (J = i_L и J₀ разомкнуты) имеем последовательно включенные R₂ и R₃  и параллельно с ними — последовательное соединение R₁ и R₄. При закороченном источнике e = - u_C и разомкнутом  J = i_L ток источника J₀ разветвляется между параллельно включенными R₁ и R₄, а R₂ и R₃ в этом частном режиме закорочены. Для приведения полученной системы к нормальному виду уравнений состояния достаточно разделить оба уравнения на L и C.

При подстановке численных значений параметров в уравнения состояния последние принимают вид:

Определим начальные значения переменных состояния. Поскольку в режиме до коммутации — при разомкнутом ключе — постоянный ток источника J₀ протекает через индуктивность L и сопротивление R₂ (ток через конденсатор не проходит, и сопротивления R₃ и R₄ шунтируются катушкой, напряжение на которой равно нулю), то i_L(0) = J₀ = 210 мА. В рассматриваемом режиме напряжение на конденсаторе u_C(0) равно падению напряжения на резисторе R₂: u_C(0) = J₀R₂ = 42 В.

Так как в цепи действует постоянный источник J₀, то частные решения i_L' и u_C' найдем из анализа режима, который установится в цепи после окончания переходного процесса — при t ®  ¥ токи в резисторах R₃ и R₄ также не протекают, однако теперь ток источника делится между сопротивлениями R₁ и R₂, которые с учетом нулевого напряжения на катушке можно считать включенными параллельно. Через катушку и резистор R₂ в этом режиме протекает доля общего тока, равная i_L' = i₂ = J₀R₁/(R₁ + R₂) = 126 мА. Напряжение на конденсаторе равно напряжению на R₂: u_C' = i₂R₂ = 25,2 В.

Решение записанной системы относительно тока i_L будем искать в виде суммы частного решения неоднородной системы i_L' и общего решения однородной системы

Для определения корней l_1, 2 составим характеристическое уравнение. Используем однородную систему

После подстановки в нее экспоненциальных частных решений i_L" = b₁"e^lt, u_C"= b₂"e^lt, дифференцирования и приведения подобных членов получим систему однородных алгебраических уравнений

Она имеет нетривиальное решение при равенстве нулю главного определителя

Заметим, что этот определитель легко записать непосредственно на основе системы уравнений состояния, опуская в них свободные члены f_1, 2, заменяя производные по времени на множители l и перенося соответствующие члены в правую часть.

Раскрывая определитель, запишем характеристическое уравнение

или

Решая это квадратное уравнение, получим l₁ = – 400; l₂ = – 2500. С учетом численного значения частного решения i_L' = 0,126 А общее решение для тока i_L будет иметь вид:

Для определения постоянных A₁ и A₂ воспользуемся начальными условиями — значениями тока i_L(0) и его производной di_L/dt(+ 0). Производную найдем из первого уравнения исходной системы: при подстановке найденных ранее значений i_L(0) и и_C(0) в правую часть получим 0,1 (di_L/dt)(+ 0) = – (760/3)·0,21+(4/15)·42 + 25,2, откуда di_L/dt(+ 0) = – 168.

Дифференцируя общее решение для i_L, получим два уравнения для постоянных:

Решая эту систему, найдем A₁ = 0,02; A₂ = 0,064. Окончательно получим

Для определения остальных значений токов и напряжений в рассматриваемой цепи нет необходимости снова решать определяющие их дифференциальные уравнения: подстановка найденного выражения для i_L в первое уравнение состояния позволяет определить u_C. Токи и напряжения цепи, не являющиеся переменными состояния, выражаются через i_L и u_C с помощью алгебраических соотношений, вытекающих из законов Кирхгофа и компонентных уравнений резистивных ветвей.

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 17.

Перепишем систему уравнений состояния в матричной форме, разделив первое уравнение на L, а второе — на С:

Запишем численные значения вектора переменных состояния при t = 0 и t = ¥ и их разность:

Решение получим с помощью матричной формулы (см. п. 17.2). Для нахождения аналитического выражения матричной экспоненты е^At определим сначала корни характеристического уравнения — собственные числа матрицы А: det [А – l 1] = 0. После подстановки численных значений это уравнение принимает вид

.

Раскрывая записанный определитель, получим характеристическое уравнение

или

Решая это квадратное уравнение, найдем: l₁ = – 400; l ₂ = – 2500.

Используя соотношения для матричной экспоненты, приведенные в Приложении 3 для вещественных простых корней, после алгебраических преобразований имеем:

Вектор переменных состояния получим, подставляя это выражение в формулу (17.1)

После перемножения и приведения подобных членов окончательно получим

Для вычисления последовательности значений х(t) с постоянным шагом Dt = h по времени можно воспользоваться матрицей перехода е^Ah

При шаге D t = h = 0,001 с элементы матрицы перехода имеют значения:

Подставляя численные значения в разностное уравнение, получим

=

+,

или после перемножения

=

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 17.

Применение явного метода Эйлера к полученным ранее уравнениям состояния (Задача 14.1) сводится к последовательному вычислению приращений переменных состояния:

;

.

При используют начальные значения переменных , . Схема неявного метода Эйлера

;

Эту систему можно записать в виде:

;

.

Аналогичный вид имеет и система, подлежащая решению при применении метода трапеций.

Результаты интегрирования рассматриваемых уравнений описываемыми методами с шагом c приведены в табл. 14.1. Сюда же включены результаты аналитического расчета по формулам, приведенным в задаче 14.2. Результаты расчета показывают, что при выбранном шаге интегрирования любой из рассматриваемых методов дает результаты, весьма близкие к аналитическому решению. При этом за время , т.е. за тысячу шагов интегрирования практически достигается установившийся режим.

Таблица 14.1

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 18.

Конец

---

Обратно к списку тем практических занятий
Обратно к плану лекции 17
Обратно к плану лекции 18