Тема 25. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
(задачи с решением)
Перейти к задачам без решения
|
Задача 25.1. Рассчитать процесс установления тока в катушке с ферромагнитным сердечником, обладающей сопротивлением R = 1 Ом, подключаемой к источнику постоянного напряжения U0 = 1,5 В. Вебер-амперная характеристика катушки (рис. П25.1, зеленая кривая) приведена в Таблице 1.
Pис. П25.1 Таблица 1 Характеристика намагничивания катушки с ферромагнитным сердечником
|
Процесс установления тока i в цепи с последовательно включенными индуктивностью и сопротивлением R описывается нелинейным дифференциальным уравнением
 |
(*) |
При использовании метода кусочно-линейной аппроксимации представим нелинейную зависимость ломаной линией, проходящей через точки характеристики, указанные в Таблице 1. Тогда выражение для тока на
k–ом отрезке аппроксимации имеет вид 
,
в котором величины с индексом k-1относятся к началу отрезка, а Δik = ik - ik-1 и ΔΨk = Ψk -Ψk-1 — приращения тока и потокосцепления на отрезке. Подстановка последнего выражения в исходное дифференциальное уравнение приводит к его линеаризации, что позволяет его проинтегрировать. Для этого перепишем уравнение в виде
.
Интегрирование после некоторых преобразований приводит к результату
,
где Lk= ΔΨk/ Δik — дифференциальная индуктивность катушки на k –ом отрезке характеристики, Δtk — интервал времени, за которое проходится отрезок. Результаты вычислений Δtk по последней формуле, а также моментов времени tk = tk-1 + Δtk окончания интервала приведены в Таблице 2. Дополнительные точки на последнем интервале, имеющем бесконечную длительность, можно рассчитать с помощью формулы
.
Таблица 2
Расчет переходного процесса методом кусочно-линейной аппроксимации
|
k |
Ψk, Вб |
ik, А |
ΔΨk, Вб |
Δik, А |
Lk, Гн |
Δtk, c |
tk, c |
| 1 |
0,0100 |
0,0500 |
0,0100 |
0,0500 |
0,2000 |
0,0068 |
0,0068 |
| 2 |
0,0300 |
0,1000 |
0,0200 |
0,0500 |
0,4000 |
0,0140 |
0,0208 |
| 3 |
0,0510 |
0,1500 |
0,0210 |
0,0500 |
0,4200 |
0,0153 |
0,0361 |
| 4 |
0,0660 |
0,2000 |
0,0150 |
0,0500 |
0,3000 |
0,0113 |
0,0474 |
| 5 |
0,0880 |
0,3000 |
0,0220 |
0,1000 |
0,2200 |
0,0176 |
0,0650 |
| 6 |
0,1020 |
0,4000 |
0,0140 |
0,1000 |
0,1400 |
0,0122 |
0,0772 |
| 7 |
0,1130 |
0,5000 |
0,0110 |
0,1000 |
0,1100 |
0,0105 |
0,0877 |
| 8 |
0,1200 |
0,6000 |
0,0070 |
0,1000 |
0,0700 |
0,0074 |
0,0951 |
| 9 |
0,1250 |
0,7000 |
0,0050 |
0,1000 |
0,0500 |
0,0059 |
0,1010 |
| 10 |
0,1290 |
0,8000 |
0,0040 |
0,1000 |
0,0400 |
0,0053 |
0,1063 |
| 11 |
0,1320 |
0,9000 |
0,0030 |
0,1000 |
0,0300 |
0,0046 |
0,1109 |
| 12 |
0,1370 |
1,1000 |
0,0050 |
0,2000 |
0,0250 |
0,0101 |
0,1211 |
| 13 |
0,1400 |
1,3000 |
0,0030 |
0,2000 |
0,0150 |
0,0104 |
0,1315 |
| 14 |
0,1410 |
1,5000 |
0,0010 |
0,2000 |
0,0050 |
∞ |
∞ |
Результат интегрирования представлен на рис. П25.2 сплошными линиями.
Pис. П25.2
Для численного интегрирования исходного дифференциального уравнения (*) аппроксимируем зависимость i(Ψ) нечетным полиномом 9-ой степени
.
Аппроксимирующая кривая изображена на рис. П25.1 (синяя линия).
Далее используем стандартную программу численного интегрирования дифференциальных уравнений, реализующую, например, метод Эйлера, трапеций, Рунге-Кутта. Для оценки времени интегрирования Тинт, используя результаты решения задачи методом кусочно-линейной аппроксимации, примем Тинт = 0,2 с. Результаты численного интегрирования приведены в Таблице 3.
Таблица 3
Расчет переходного процесса с помощью численного интегрирования
|
t, с |
0 |
0,0016 |
0,0141 |
0,0266 |
0,0391 |
0,0516 |
0,0641 |
|
Ψ, Вб |
0 |
0,0023 |
0,0205 |
0,0379 |
0,0548 |
0,0714 |
0,0870 |
|
i, А |
0 |
0,0105 |
0,0840 |
0,1279 |
0,1565 |
0,2057 |
0,2939 |
|
uL, В |
1,5000 |
1,4895 |
1,4160 |
1,3721 |
1,3435 |
1,2943 |
1,2061 |
|
t, с |
0,0766 |
0,0891 |
0,1016 |
0,1141 |
0,1217 |
0,1298 |
0,1371 |
|
Ψ, Вб |
0,1014 |
0,1144 |
0,1256 |
0,1339 |
0,1372 |
0,1393 |
0,1404 |
|
i, А |
0,4037 |
0,5235 |
0,7002 |
0,9813 |
1,1624 |
1,3087 |
1,3941 |
|
uL, В |
1,0963 |
0,9765 |
0,7998 |
0,5187 |
0,3376 |
0,1913 |
0,1059 |
|
t, с |
0,1446 |
0,1526 |
0,1614 |
0,1715 |
0,1831 |
0,1956 |
0,2000 |
|
Ψ, Вб |
0,1409 |
0,1413 |
0,1414 |
0,1415 |
0,1415 |
0,1415 |
0,1416 |
|
i, А |
1,4445 |
1,4730 |
1,4880 |
1,4953 |
1,4984 |
1,4995 |
1,4997 |
|
uL, В |
0,0555 |
0,0270 |
0,0120 |
0,0047 |
0,0016 |
0,0005 |
0,0003 |
Полученные данные нанесены кружками на рис. П25.2.
