4.1. КОНТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Метод контурных токов использует в качестве базисной системы переменных, через которые выражаются токи и напряжения цепи, контурные токи, замыкающиеся в независимых контурах цепи. При этом соотношения, базирующиеся на уравнениях первого закона Кирхгофа, и компонентные уравнения используют для исключения напряжений из уравнений второго закона Кирхгофа. Это приводит к системе контурных уравнений, неизвестными в которых являются токи, циркулирующие в независимых контурах. Поэтому число неизвестных в системе равно числу независимых контуров цепи. Как и в методе узловых напряжений, описанная процедура исключения при решении задач не выполняется, а контурные уравнения составляются непосредственно. Рассмотрим один из независимых контуров цепи (рис. 4.1).
Pис. 4.1
Принимая в качестве положительных направлений токов в ветвях указанные на рис. 4.1, запишем уравнение второго закона Кирхгофа
Считая, что в рассматриваемом и смежных с ним контурах циркулируют контурные токи iк, выразим через них токи в ветвях
Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получим контурное уравнение
Коэффициент R11 при контурном токе i1к называется собственным сопротивлением контура; он образуется суммированием сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Коэффициент уравнения Rkm, имеющий различные индексы, — это общее сопротивление контуров k и m, равное сумме сопротивлений общих ветвей обоих контуров. Знак этой суммы определяется относительным направлением контурных токов в общих ветвях. Если оба контурных тока протекают по этим ветвям в одном направлении, то сопротивление Rkm имеет знак “плюс”, при противоположном направлении обоих контурных токов — знак “минус”. При отсутствии общих ветвей контуров Rkm = 0. Правая часть уравнения — контурная ЭДС eк — равна алгебраической сумме ЭДС источников в данном контуре. Знаки этих ЭДС определяются правилом их учета в уравнении второго закона Кирхгофа: совпадающие с направлением контурного тока ЭДС берутся со знаком “плюс”, противоположные ему — со знаком “минус”. В матричной форме система контурных уравнений цепи имеет вид:
Rкiк =eк,
где Rк — матрица контурных сопротивлений; iк — вектор-столбец контурных токов; eк — вектор-столбец контурных ЭДС;
Матрица контурных сопротивлений симметричная (Rkm = Rmk) и имеет размер p ´ p (p — число независимых контуров цепи).
Полученная система сходна с системой узловых уравнений: диагональные элементы обеих матриц Rк и Gу формируются по принципу принадлежности к данному узлу или контуру, сходны и правила формирования недиагональных элементов матриц — общих для двух узлов или контуров. Здесь, однако, аналогия не является полной, так как общие проводимости Gkm узловой матрицы пассивной цепи всегда имеют знак “минус”, а общие сопротивления контурной матрицы могут иметь различные знаки.
