6.1. ПРИНЦИП ДУАЛЬНОСТИ
В законах электрических цепей и описывающих цепи выражениях можно обнаружить сходство соотношений, записанных для токов и напряжений, называемое дуальностью: при взаимной замене токов и напряжений обнаруживается своеобразная симметрия. Дуальными являются пары физических величин, топологических понятий и законов цепей, соответствующие друг другу в дуальных соотношениях. Так, индуктивность характеризуется компонентным уравнением u = L di/dt, связывающим напряжение u и производную тока di/dt. Дуальным будет уравнение, выражающее ток элемента i через производную напряжения du/dt. Это — связь i = C du/dt для емкости. Отсюда следует, что L и C являются дуальными элементами. Также дуальны друг другу источник ЭДС и источник тока. Дуальны и топологические понятия контура и сечения, первый и второй законы Кирхгофа, формулируемые для дуальных друг другу топологических структур. Приведем некоторые основные дуальные величины, понятия и законы (перечень этот может быть продолжен):
контур Û сечение; ветви дерева Û ветви связей;
параллельное Û последовательное соединения;
разрыв Û соединение накоротко.
Если уравнения для токов и напряжений одной цепи тождественны уравнениям для токов и напряжений другой цепи при замене в них всех величин на дуальные, такие две цепи являются дуальными. Узлам в дуальной цепи соответствуют элементарные ячейки исходной цепи. Дуальными могут быть только планарные цепи.
Принцип дуальности позволяет распространить результаты, полученные при анализе одних цепей, на дуальные соотношения в дуальных им цепях. Для нахождения структуры дуальной цепи можно воспользоваться преобразованием уравнений исходной цепи, заменяя входящие в них величины на дуальные. В простейших случаях дуальную цепь можно получить, применяя принцип непосредственно к топологическим понятиям и элементам. Так, последовательному соединению источника и индуктивности в дуальной цепи отвечает параллельное соединение источника тока и емкости.
Узлу 1 исходной цепи (рис. 6.1, а) в дуальной цепи (рис. 6.1, б) отвечает элементарная ячейка 1, включающая источник тока J и емкость C1, дуальную индуктивности L1.
Рис. 6.1
Узлу 2 исходной цепи отвечает в дуальной цепи ячейка 2. Нетрудно проверить, что все топологические характеристики второй цепи (см. рис. 6.1, б) тождественны таковым для дуальных величин исходной цепи. Обе цепи описываются и дуальными системами уравнений:
