8.3. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ

Двухполюсные цепи, содержащие индуктивности и емкости, реактивные сопротивления которых имеют противоположные знаки, обладают специфическими частотными свойствами. При определенных частотах в таких цепях может наблюдаться полная компенсация реактивного сопротивления (X = 0), входное сопротивление принимает чисто активный характер, напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе (j = 0) — в цепи наблюдается резонанс. В резонансных режимах токи и напряжения на отдельных участках цепи могут существенно превышать входные величины. Как будет показано далее, это позволяет выделять резонансные частоты из спектра колебаний сложной формы, однако в ряде случаев возникновение резонансного режима может вызвать и нежелательные последствия: перегрузку или повреждение элементов цепи при появлении больших токов и напряжений.

Для определения резонансных частот двухполюсной цепи используется равенство нулю ее эквивалентного реактивного сопротивления или проводимости X = 0, B = 0.

Решение этих уравнений относительно частоты приводит к определению резонансных частот w₀. Для цепей, включающих элементы R, L, C, оба указанных условия эквивалентны, так как эквивалентные реактивные параметры двухполюсника связаны соотношением B = X/(R² + X²). Для цепей без потерь, составленных только из индуктивностей и емкостей, при нулевом эквивалентном активном сопротивлении имеем B = 1/X, и оба условия дают различные значения резонансных частот. В таких цепях при условии X = 0 при резонансе обращается в нуль напряжение на входе цепи, а при B = 0 равен нулю входной ток двухполюсника. Существование таких режимов возможно, так как в цепи без потерь протекание токов в отдельных ветвях не сопровождается потерями энергии в цепи, на преодоление которых требовалось бы потребление активной мощности от источника.

Рассмотрим частотные свойства простейших цепей с последовательным или параллельным соединением индуктивности и емкости — колебательных контуров.

Комплексное входное сопротивление последовательного колебательного контура (рис. 8.7) равно , его полное сопротивление .

Рис. 8.7

Частотная зависимость z(w) имеет минимум при условии X = wL – 1/wC = 0 на резонансной частоте ω₀ = 1/ЦLC.

В режиме резонанса Z = R и, несмотря на присутствие реактивных элементов, ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (j = 0).

Проанализируем частотные зависимости X(w) и z(w). При w ® 0 полное сопротивление цепи неограниченно возрастает за счет роста емкостного сопротивления 1/wC, при w ® ¥ неограниченно возрастает индуктивное сопротивление, и z ® ¥ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Частотные зависимости тока в цепи и напряжений на ее элементах выражаются формулами:

Вид их частотных характеристик (рис. 8.9) определяется характером частотной зависимости z(w). Зависимости I и U имеют максимум на резонансной частоте w₀

При w ® 0 и w ® ¥ ток в цепи и напряжение на резисторе убывают до нуля.

Рис. 8.9

Напряжение U_C при w = 0 равно входному напряжению U, так как конденсатор в этом режиме представляет разрыв в цепи. При w ® ¥ напряжение U_C убывает за счет спада тока и сопротивления 1/wC. Зависимость U_C(w) может иметь максимум в окрестности резонанса (рис. 8.9). При определенных соотношениях между параметрами контура возможен монотонный спад кривой U_C(w).

Напряжение U_L, равное нулю при w = 0, затем возрастает, либо достигая максимума в окрестности резонанса (рис. 8.9), либо монотонно приближаясь к напряжению U при w ® ¥, когда сопротивление wL неограниченно растет и индуктивность эквивалентна разрыву в цепи.

На резонансной частоте оба напряжения U_C0 и U_L0 равны и, полностью компенсируют друг друга (см. векторную диаграмму на рис. 8.7, б):

Величина w₀L/R = 1/(w₀CR) = ЦL/C/R = Q — добротность контура, показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах U_C0 и U_L0 при резонансе превосходят напряжение источника U. Эта величина определяет также и характер кривых U_C(w) и U_L(w). Монотонный характер этих зависимостей наблюдается при . Обратная величина d = 1/Q — это затухание контура.

Рассматривая U_R в качестве выходного напряжения цепи, проанализируем характер зависимости U_R(w) в окрестности резонансной частоты w₀.

Рис. 8.10

Передаточная функция K(w) = UR/U0 =  имеет при резонансе максимум, равный единице. Найдем значения частот w1 и w2, при которых значение K(w) уменьшается до 1 /Ц2 (рис. 8.10). При этих частотах значение подкоренного выражения, увеличивается вдвое по сравнению со своим значением при резонансе, равным R2. Это дает условия для определения частот w1 и w2:

Отсюда имеем:

Разность w₂ – w₁ — полоса пропускания цепи — определяет диапазон частот, в котором отличие сигнала на выходе цепи от своего максимального значения не превосходит Ц2. При использовании логарифмических единиц это соответствует 3 дБ. Для мощности P, являющейся квадратичной функцией напряжения, отношение P/P_max на границах полосы пропускания при частотах w₁ и w₂ составляет 1/2.

Подобное понятие вводится не только для колебательного контура, но и для произвольной цепи, в которой в качестве полосы пропускания принимают диапазон частот, в котором активная мощность, выделяемая в нагрузке, составляет не менее половины от своего максимального значения, или напряжение на нагрузке U_н > U_н max/Ц2. Хотя  понятие полосы пропускания является условным, оно отражает избирательный характер передачи сигнала от источника к нагрузке.

Используя полученные выражения для w₁ и w₂, для полосы пропускания контура найдем Dw = w₂ – w₁ = R/L. Отношение резонансной частоты w₀ к Dw равно добротности контура: w₀/Dw = L/(RЦLC) = ЦL/C/R = Q. Таким образом, у резонансного контура с более высокой добротностью, относительная ширина полосы пропускания Dw/w₀ ýже. Это свойство колебательных контуров используют на практике для выделения сигнала данной частоты из совокупности различных частот.  

Контур с параллельным соединением G, L, C (рис. 8.11) дуален последовательному контуру.

У контура с высокой добротностью Q = ЦC/L/G этот спад имеет резкий характер, для идеального контура с G = 0 имеем z(w₀) = ¥.

При питании параллельного контура от источника тока I = const частотные зависимости U, I_G, I_L и I_C (обозначения в скобках на рис. 8.9) тождественны изображенным на рис. 8.9 кривым I, U_R, U_C и U_L. При частотах, близких к резонансной, ток в параллельных ветвях L и C высокодобротного контура значительно превышают ток входной ветви I; отношение I_L0/I = I_C0/I = Q.

Анализ работы контура при питании от источника напряжения U приводит к элементарным результатам: I_G = UG; I_L = U/wL; I_C = UwC. Зависимости токов в ветвях контура от частоты имеют очевидный характер. Для общего тока имеем в этом случае I = Uy. Эта зависимость подобна кривой z(w) (рис. 8.8).

Рассмотренные свойства последовательного и параллельного колебательных контуров показывают, что подобные двухполюсники удобно использовать для фильтрации сигналов — подавления или выделения определенных частот путем настройки контура на эту частоту в качестве резонансной. При высокой добротности полное сопротивление последовательного контура, малое при частотах, близких к резонансной, резко возрастает при удалении от нее. Сопротивление высокодобротного параллельного контура, наоборот, весьма велико при резонансной и близких к ней частотах, и резко падает при удалении от резонансной частоты. Это позволяет осуществить ограничение сигнала данной частоты путем включения параллельных LC-звеньев последовательно в цепь прохождения тока к нагрузке и последовательных LC-цепочек параллельно сопротивлению нагрузки (рис. 8.12, а).

Рис. 8.12

При соблюдении условий в сопротивлении R_н ток частоты w₀ будет отсутствовать.

Для решения противоположной задачи — выделения сигнала с частотой w₀  из спектра частот — последовательные и параллельные контуры следует включить противоположным образом (рис. 8.12, б). Настройка обоих контуров на частоту w₀ приводит к тому, что все сигналы, частота которых отличается от данной, будут ослабляться подобным фильтром.

Параллельный колебательный контур с потерями (рис. 8.13).

Его мнимая часть определяет реактивную проводимость . Из условия B = 0 найдем . Отсюда следует, что при больших значениях R₁ или R₂, когда подкоренная дробь становится отрицательной, резонанс в цепи отсутствует. Это характерно для цепей с резистивными элементами, в которых наличие катушек и конденсаторов не гарантирует возникновения резонансного режима. В отличие от параллельного контура без потерь (R₁ = R₂ = 0), обладающего нулевой входной проводимостью на резонансной частоте, контур с потерями имеет ненулевую проводимость при резонансе, так как протекание тока в параллельных ветвях сопровождается потерями, которые должны покрываться источником во входной ветви.

В остальном частотная зависимость y(w) контура с потерями при высокой добротности близка к частотной характеристике проводимости контура без потерь y(w) = ½1/(wL) – wC½, отличаясь от последней тем, что проводимость контура с потерями сохраняет конечное значение при нулевой и бесконечно большой частотах.

Наибольший практический интерес рассматриваемая цепь представляет при R₂ = 0, поскольку активное сопротивление катушки существенно превышает активное сопротивление конденсатора. В этом случае резонансная частота равна , а проводимость контура при резонансе y(w) = R₁C/L. При высокой добротности эта величина достаточно мала, что позволяет использовать подобный контур для эффективного подавления нежелательных частот в рассмотренных выше схемах фильтрации сигналов (см. рис. 8.12).

Конец 8-й лекции

---

Обратно к плану данной лекции
Перейти к задаче по теме данной лекции
Дальше к плану следующей лекции