21.5. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Спектральные представления дискретных сигналов позволяют подойти аналогичным образом и к описанию свойств самих дискретных систем, в частности, электрических цепей, используемых для преобразования последовательностей импульсов.
Введенное выше понятие передаточной функции импульсной системы K(z) = F2(z)/F1(z) при переходе от аргумента z к частотному представлению z = ejwT позволяет анализировать свойства дискретных систем с позиций частотной избирательности — различной способностью к пропусканию отдельных гармонических составляющих спектра входного сигнала F1(jw). Эти свойства описываются передаточной функцией импульсной системы K(z) = K(ejwT) и рассматриваются на интервале периодичности (0, w0 = 2p/T) или (0, w0/2). В аналоговых системах свойство ослабления отдельных частотных составляющих называется фильтрацией сигнала. При рассмотрении преобразования спектра дискретными (цифровыми) системами пользуются понятием цифровой фильтрации — избирательным прохождением отдельных составляющих спектра дискретного сигнала через систему, которая при таком подходе представляет собой цифровой фильтр.
Таким фильтром является, например, математическая модель обычной RС-цепи (см. рис. 20.1, б), находящейся под действием последовательности импульсов, так как она преобразует спектральный состав входной последовательности. В частности, при действии на входе этой цепи последовательности
d-импульсов с шагом Т для ее передаточной функции
Kd(z) ранее было получено
, поэтому ее передаточная функция
в частотном представлении описывается амплитудно-частотной характеристикой, изображенной на рис. 21.8, а
и совпадающей со спектральной характеристикой модуля дискретной экспоненты (см. рис. 21.5).
Рис. 21.8
Отсюда видно, что рассматриваемый цифровой фильтр обладает (как и его аналоговый RС-прототип) свойствами фильтра нижних частот, идеальная характеристика которого имеет вид, представленный на рис. 21.8, б. Рассматриваемый RС-фильтр усиливает амплитуды низкочастотных сигналов и подавляет сигналы с частотой, близкой к w0/2. Фильтрующие свойства этой цепи проявляются тем сильнее, чем ближе значение e–T/t к единице, или при малых значениях T/t.
Анализ преобразования дискретных сигналов цифровым фильтром с идеальной характеристикой фильтра нижних частот (рис. 21.8, б) показывает, что, как и в случае аналогового прототипа, построение такого цифрового фильтра невозможно, так как оно противоречит принципу причинности (ср. п. 13.2).
Однако в качестве цифрового фильтра может выступать не только электрическая цепь или другое аналоговое устройство, используемое для преобразования спектра дискретной последовательности сигналов. Любое разностное уравнение, не связанное с процессами в аналоговых устройствах, также эквивалентно некоторой передаточной функции
. В этом смысле сами разностные уравнения могут также рассматриваться как цифровые фильтры, преобразующие частотные спектры числовых последовательностей. Такие разностные уравнения могут вытекать из математических моделей процессов любой физической природы или являться отражением абстрактных математических процедур. Это существенно расширяет возможности цифровой фильтрации по сравнению с аналоговой, так как для ее осуществления необязательно использовать электрическую цепь — алгоритм цифровой фильтрации, выраженный разностным уравнением, можно реализовать в виде программы универсального или специализированного цифрового процессора.
Пример. Рассмотрим алгоритм усреднения членов последовательности, описываемый разностным уравнением y[k] = (x[k + 1] + x[k – 1])/2. Какую фильтрацию осуществляет это разностное уравнение? Учитывая соотношения для изображения смещенных последовательностей при двустороннем z-преобразовании, запишем K(z) = Y(z)/X(z) = (z + z–1)/2. После подстановки z = ejwT и перехода к частотной переменной получим
.
Амплитудно-частотная характеристика такого цифрового фильтра, изображенная на рис. 21.9, показывает, что этот цифровой фильтр не преобразует сигнал с нулевой частотой.
Рис. 21.9
Действительно, последовательность
x[k] = ..., 1, 1, 1, 1, ... с частотой w = 0 не изменяется в результате преобразования разностным уравнением: y[k] = ..., 1, 1, 1, 1, .... Для этой частоты имеем
K(0) = 1. Неограниченная последовательность
x[k] = ..., 1, – 1, 1, – 1, ... с частотой
w0/2 изменяет знак на противоположный:
y[k] = ... – 1, 1, – 1, 1, ...; для нее
K(w0/2) = cos p = – 1. Наконец, частота w = w0/4 полностью подавляется рассматриваемым фильтром:
K(w0/4) = 0, так как при усреднении соответствующей последовательности
z[k] = ...0, 1, 0, – 1, 0, ... получаем
. Изображенная частотная характеристика дает наглядное представление о характере преобразования дискретных последовательностей различной частоты: амплитуда всех гармоник в результате усреднения уменьшается, особенно для частот, близких к
w0/4, для которой рассматриваемый фильтр является заграждающим.
