22.3. СВОЙСТВА ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RС- И RL-ЦЕПЕЙ

Для изучения свойств RС-цепей сопоставим аналогичные по структуре и численным значениям параметров LС- и RС-цепи. Изображенные на рис. 22.7, а,б цепи различаются тем, что все индуктивности первой из них заменены на резисторы с одинаковыми численными значениями параметров R_i [Ом] = L_i [Гн].

Рис. 22.7

Сопротивления ветвей первой цепи описываются в общем случае формулами

, второй — .

Операторное входное сопротивление Z_вх(s) каждой из цепей можно представить как отношение определителя матрицы контурных сопротивлений цепи D_n(s) к его минору D_n–1(s), образованному из D_n(s) вычеркиванием столбца и строки, соответствующих контуру, включающему источник ЭДС во входной ветви

.

При формировании обоих определителей в результате перемножения собственных и общих контурных сопротивлений LС-цепи, имеющих такую же структуру, как и сопротивления ветвей Z_i(s), получим соотношение (22.4), которое можно представить в общем виде как Z_LC(s) = sF '(s²). При записи аналогичного выражения входного сопротивления RС-цепи (см. рис. 22.7, б) каждый сомножитель D_n и D_n–1 можно получить из соответствующего сомножителя определителя LС-цепи путем деления на s и замены в оставшемся выражении s² на s. Поэтому такой же принцип перехода позволяет получить и окончательный вид функции Z_RC(s) на основе выражения (22.4) для LС-цепи, в котором надо в F ' сделать замену s² на s и убрать сомножитель s в числителе. В результате придем к выражению

.

(22.5)

Таким образом, входное сопротивление RС-цепи отличается от Z_LC(s) видом сомножителей в скобках, содержащих s в первой степени в числителе и знаменателе. Это означает, что все его нули и полюсы расположены на вещественной оси, являются простыми и чередуются между собой: 0 £ s₀ < s₁ < s₂ < s₃ ...

Общее выражение для Z_RC(s) показывает также, что степень его числителя не превышает степени знаменателя — при s ® ¥ это сопротивление не может неограниченно возрастать. В результате Z_RC(s) имеет либо одинаковые степени полиномов числителя и знаменателя, либо степень числителя на единицу меньше. В начале координат (при s = 0) Z_RC(s) может иметь полюс, но не нуль, а при s ® ¥  — нуль, но не полюс.

Поскольку в каждой паре следующих друг за другом полюсов и нулей s_k, s_k+1 полюс расположен ближе к началу координат, чем нуль (s_k < s_k+1), то отношение модулей двух соответствующих сомножителей числителя и знаменателя (jw + s_k+1)/(jw + s_k) с увеличением частоты убывает. Это определяет монотонно спадающий и непрерывный характер зависимости модуля входного сопротивлений RС-цепи от частоты Z_RC(w): при s = jw имеем ¶Z(w)/¶ w < 0.

Вычеты A_i в полюсах s = – s вещественны и положительны — по правилу вычисления вычета

.

Поскольку числитель и знаменатель имеют одинаковое число отрицательных сомножителей, то результат деления положительный.

Хотя выражение операторной входной проводимости Y_RC(s) RС-цепи имеет простые вещественные полюсы и нули, и его структура, в принципе, такая же, как и у Z_RC(s), оно обладает несколько отличными свойствами. Во-первых, при s = 0 Y_RC(s) может иметь нуль, но не полюс, а при s = ¥ — полюс.  Общее выражение для проводимости такой цепи имеет вид

,

Вторым отличием является то, что все вычеты A_i в полюсах Y_RC(s) отрицательны: теперь для вычета в полюсе -s_i имеем

Числитель и знаменатель этой дроби содержат разное количество отрицательных скобок-сомножителей, и результат деления отрицателен. Функция Y_RC(s)/s имеет положительные вычеты, так как его структура совпадает со структурой Z_RC(s).

Свойства входных функций RL-цепей легко установить, сопоставив их с двухэлементными LС-цепями. При переходе от LC-цепи к RL-цепи с одинаковой структурой операторные сопротивления ее ветвей пересчитываются по правилу

.

Поэтому для получения выражения Z_RL(s) из Z_LC(s) сомножители последнего, имеющие вид , следует заменить на s + s. При этом в числителе и знаменателе исключается одинаковое число сомножителей вида 1/s, а множитель s, присутствующий в числителе Z_LC(s), сохраняется. В результате получаем следующее общее выражение для входного сопротивления

,

(22.6)

Очевидно, что его структура тождественна выражению Y_RC(s), и поэтому свойства функций Z_RL(s) и Y_RC(s) одинаковы — входное сопротивление RL-цепи имеет лишь вещественные, простые нули и полюсы, чередующиеся на отрицательной полуоси; степень числителя Z_RL(s) не ниже степени знаменателя. В начале координат Z_RL(s) может иметь нуль; наличие полюса исключается. При s = ¥ Z_RL может иметь полюс, но не нуль. Оба значения: Z_RL(0) и Z_RL(¥)могут быть ненулевыми, конечными. Модуль входного сопротивления RL-цепи монотонно возрастает с увеличением частоты: ¶Z_RL/¶w > 0 . Вычеты в полюсах Z_RL(s) вещественные, отрицательные. Вычеты выражения Z_RL(s)/s — положительные.

Нетрудно установить, что свойства входной проводимости RL-цепи тождественны свойствам входного сопротивления RС-цепи. В частности, Y_RL(s) имеет положительные вычеты.

Подведем итоги анализа свойств входных функций двухэлементных пассивных цепей. У всех трех классов цепей (LС, RС и RL) эти функции имеют простые нули полюсы, расположенные либо на мнимой оси (LС-цепи), либо на вещественной отрицательной полуоси. Нули и полюсы этих цепей чередуются. Вычеты в полюсах всегда вещественны. Для цепей без потерь вычеты в полюсах обеих входных функций (сопротивления и проводимости)  — положительны. Вычеты в полюсах Z_RС(s) и Y_RL(s) положительны, вычеты в полюсах Y_RС(s) и Z_RL(s) — отрицательны. Функции Y_RС(s)/s и Z_RL(s)/s имеют положительные вычеты. 

Отсюда следует также, что наличие комплексных или кратных полюсов  характерно для RLС-цепей. Распределение их полюсов и нулей имеет нерегулярный характер, как и значения вычетов в этих полюсах. Частотная зависимость модуля входного сопротивления RLС-цепи на мнимой оси при s = jw может быть немонотонной.