27.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОМПОНЕНТОВ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ

Рассмотрим глобальные нелинейные модели таких элементов, как диоды, транзисторы и операционные усилители, позволяющие осуществлять анализ электронных цепей с этими элементами в динамических режимах при изменении в широких пределах токов и напряжений. Линеаризация параметров этих моделей в окрестности рабочей точки приводит к линейным моделям, используемым при анализе в малосигнальном режиме. Такие модели уже рассматривались ранее в п. 14.3.

Pис. 27.5

Диод. Схема замещения диода в режиме большого сигнала изображена на рис. 27.5. Она включает в себя нелинейное сопротивление Rд, характеристика которого описывается зависимостью ,          (27.1) нелинейную дифференциальную емкость, включающую  барьерную Сб

и диффузионную составляющие С_д:

сопротивление утечки перехода R_у 1 МОм и объемное сопротивление материала полупроводника и контактов R'.

Входящие в нелинейные связи параметры имеют следующий смысл: I_s — ток насыщения диода; (φ_т — температурный потенциал (φ_т == kT/q, где q =1,6·10^-19 Кл — заряд электрона; k = 1,38·10^-23 Дж/К — постоянная Больцмана, Т  — абсолютная температура). При нормальной температуре (φ_т ~ 25мВ; m = l,0 – 2,5 — поправочный коэффициент, учитывающий отклонение характеристики диода от идеальной модели; С_б0 — барьерная емкость при нулевом смещении перехода; φ₀ — контактная разность потенциалов, φ₀ » 0,2 – 0,8 B; п = 1/2 – 1/3 — коэффициент качества перехода; t — постоянная времени, учитывающая граничную частоту работы диода, имеющую порядок мегагерц. Типичные значения тока насыщения I_s составляют 10^-6 – 10^-12 А для кремниевых диодов и 10^-2  – 10^-8 — для германиевых; барьерная емкость С_б0 имеет значение нескольких пикофарад; порядок диффузионной емкости С_д — десятки или сотни пикофарад.

Параметры модели диода определяют измерениями на данном приборе. Для перехода к статической модели из схемы рис. 27.5 исключается конденсатор, и она становится чисто резистивной.

Биполярный транзистор. Нелинейная глобальная модель биполярного транзистора (рис. 27.6, а), имеющего два р-n-перехода, — модель Эберса-Молла — использует 

Рис. 27.6                

для каждого из переходов модель диода, рассмотренную выше, и дополнительно учитывает эффект передачи тока через базу в прямом и обратном направлениях с помощью двух управляемых источников. Для транзистора типа рпр рассматриваемая модель приведена на рис. 27.6, б. Для npn-транзистора все положительные направления диодов, источников и указанные направления токов заменяют на противоположные. Для рассматриваемой схемы имеем:

 i_э = i_эб - a_обрi_кб,     i_к = i_кб - a_прi_эб,   

где a_пр — коэффициент передачи тока в прямом направлении в схеме с общей базой, a_пр » 0,99; a_обр — коэффициент передачи тока в обратном направлении, a_обр » 0,5.

При использовании для описания рn-переходов рассмотренной выше модели диода можно получить схему замещения рпр-транзистора, изображенную на рис. 27.6, в. Она содержит объемные сопротивления нейтральных областей R'_э, R'_к и R'_б и сопротивления активных и пассивных областей базы, сопротивления утечки переходов R_{у. э} и R_{y. к}, нелинейные сопротивления R_{д. э} и R_{д. к}, вольтамперные характеристики которых определяются приведенной выше экспоненциальной зависимостью (27.1) для диода, и нелинейные емкости С_э и С_к, которые аналогично описываются приведенными выше зависимостями для диода. Параметры, описывающие характеристики нелинейных элементов схемы замещения, различны для моделей обоих переходов. Их значения не приводятся в справочной литературе и поэтому их определяют серией измерений на данном приборе. Заметим, что рассмотренная модель Эберса-Молла включает 22 параметра, так что для их нахождения требуется значительный объем измерений.

При использовании транзистора в активной области, когда эмиттерный рn-переход смещен в прямом, а коллекторный переход — в обратном направлениях, можно пренебречь током i_{к. б} и соответственно током управляемого источника I_э. Если при этом транзистор работает в малосигнальном режиме, то можно осуществить линеаризацию характеристик нелинейных элементов в окрестности рабочей точки и прийти, по существу, к Т-образной схеме замещения с одним управляемым источником I_к.

Схема упрощается также при анализе на постоянном токе, когда после исключения емкостных элементов она становится чисто резистивной и приводится к схеме, изображенной на рис. 14.4, б.

Нелинейная макромодель операционного усилителя. Построение макромодели любого сложного устройства является неоднозначным, так как оно существенно зависит от физических факторов, учитываемых при моделировании. Для операционных усилителей к таковым относятся, в первую очередь:
1) частотная зависимость коэффициента усиления; 
2) ограничение амплитуды выходного напряжения уровнем напряжения питания; 
3) ограничение скорости нарастания выходного напряжения. 

Перечисленные моменты учитывает простейшая макромодель усилителя, изображенная на рис. 27.7, а. Она содержит входной блок — входное сопротивление R_вх и нелинейный источник тока J= f(u_вх), управляемый входным напряжением усилителя u_вх. Характеристика нелинейного источника приведена на рис. 27.7, 6.  

Рис. 27.7

Поскольку максимальный ток через конденсатор C₁ не превышает значения I_т, то скорость нарастания напряжения на его зажимах не может превысить величины du₁/dt = I_m/C₁. Звено, включающее параллельно соединенные элементы C₁R₁, моделирует ограниченную полосу пропускания операционного усилителя. Так как отношение выходного напряжения и₁ на частоте w к его значению на нулевой частоте равно U₁(jw)/U₁(0)= 1/(1 + jwR₁C₁), то выбор параметров макромодели R₁ и C₁ определяется значением граничной частоты полосы пропускания w_гр. При задании этой частоты по уровню ослабления 3 дБ имеем w_грR₁C₁ = l. При необходимости макромодель может учитывать и более сложный вид амплитудно-частотной характеристики усилителя путем каскадного подключения дополнительных RС-звеньев, аналогичных изображенному на рис. 27.7, позволяющих учесть другие полюсы передаточной функции усилителя K(jw).

Выходной блок помимо линейного выходного сопротивления R_вых содержит нелинейное сопротивление. Его характеристика имеет вид, изображенный на рис. 27.7, в. Это ведет к ограничению уровня выходного напряжения заданными пределами.