Нелинейная связь между потокосцеплением и током катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 29.11, а) определяет несинусоидальный характер тока в катушке при ее питании от источника синусоидального напряжения. В этом режиме из соотношения следует, что потокосцепление катушки изменяется также по синусоидальному закону, и поэтому ток является несинусоидальным. Поскольку гистерезисная петля не имеет простого аналитического описания, то для установления характера зависимости в рассматриваемом случае воспользуемся графическим построением, перенося отдельные точки синусоидальной зависимости (рис. 29.11, б) в отдельные моменты времени на график тока (рис. 29.11, в),

Рис. 29.11

значения которого определяются соответствующими абсциссами характеристики . Ход построения указан стрелками. Из рисунка следует, что гистерезисный характер зависимости приводит к тому, что обе эти величины не одновременно переходят через нуль, хотя одновременно достигают максимумов. Поскольку второй полупериод кривой повторяет первый со сменой знака, то эта кривая является нечетно-гармонической и, следовательно, содержит только нечетные гармоники, преимущественно гармоники низших порядков — 1-, 3-, 5-ю.

Рис. 29.12

В противоположном случае — при питании катушки от источника синусоидального тока — аналогичное построение (рис. 29.12, а-в) позволяет установить, что кривая имеет уплощенный характер, а, следовательно, напряжение на зажимах катушки будет состоять из резких пиков чередующейся полярности. Это используется на практике для генерирования импульсов напряжения. Спектр кривой напряжения в этом случае также содержит лишь нечетные гармоники, однако, в нем более сильно проявляются высшие гармоники, чем в кривой тока, приведенной на рис. 29.11, где преобладает 1-я гармоника.

Можно установить также (как это было выявлено ранее для нелинейного резистора), что соотношение между амплитудами первых гармоник тока и напряжения в обоих рассмотренных случаях различно. Различаются также и соотношения между действующими значениями U и I в обоих режимах.

При включении катушки с сердечником в состав более сложной цепи, находящейся под действием синусоидального сигнала, в общем случае несинусоидальный характер будут иметь как ток, так и напряжение на зажимах катушки.

Дополнительным фактором, который необходимо учитывать при анализе периодических режимов в цепях, содержащих катушки с ферромагнитными сердечниками, являются потери в сердечнике. Они связаны с перемагничиванием материала. Интеграл за один цикл перемагничивания — за период изменения тока T — определяет энергию, выделяемую в сердечнике. Используя связь u = dY/dt, приведем подынтегральное выражение к виду idY. Отсюда следует, что характер неоднозначной зависимости  i(Y) при наличии гистерезиса определяет энергию потерь на гистерезис , равную площади гистерезисной петли в данном цикле. Экспериментально установлено, что в диапазоне значений амплитуд магнитной индукции 1,0 -1,6 Тл, который характерен для ферромагнитных сердечников, площадь петли гистерезиса пропорциональна квадрату амплитуды индукции. Поэтому мощность потерь на гистерезис при периодическом перемагничивании с частотой выражается формулой:

.

Дополнительные потери в сердечнике, выполненном из проводящего материала с удельной электропроводностью g, определяют также вихревые токи, индуктируемые в теле сердечника пронизывающим его переменным магнитным потоком. Согласно принципу электромагнитной инерции, эти токи препятствуют изменению вызывающего их потока, то есть их направление таково, что их собственный магнитный поток направлен навстречу потоку, создаваемому в сердечнике обмоткой катушки. При достаточно высоких электропроводности сердечника и частоте вихревые токи способны практически полностью скомпенсировать поток обмотки. Для их ослабления сердечники катушек, предназначенных для работы в переменных магнитных полях, выполняются не сплошными, а шихтованными, то есть набираются из отдельных пластин, изолированных друг от друга. При такой конструкции сердечника вихревые токи вынуждены замыкаться в пределах каждой пластины, что значительно ослабляет их действие и связанные с ними потери.

Анализ распределения токов в пластинах сердечника методами теории электромагнитного поля приводит к формуле для мощности потерь на вихревые токи

,

где d — толщина пластины.

Их следует также учитывать и при замене кривых напряжения и тока в катушке эквивалентными синусоидами. Для идеальной катушки без потерь фазовый сдвиг φ тока относительно напряжения должен составлять p/2. Для учета потерь в сердечнике угол φ можно выбрать из условия UIcosφ = P_г + P_в, где U и I  — действующие значения эквивалентных синусоид, которые принимаются равными либо действующим значениям соответствующих величин, либо их амплитуды берутся равными амплитудам первых гармоник тока и напряжения.

Феррорезонанс в нелинейных цепях. Как уже указывалось, гармоническая линеаризация, как замена действительных периодических кривых токов и напряжений на элементах цепи эквивалентными синусоидами, позволяет использовать при анализе таких цепей методы расчета линейных цепей синусоидального тока — комплексный метод, векторные диаграммы и др.

Воспользуемся этими методами для изучения процессов в цепях, включающих нелинейные катушки с ферромагнитными сердечниками и конденсаторы. Напомним, что в линейной цепи при последовательном и параллельном соединении этих элементов имеют место резонансные явления, выражающиеся в резком увеличении напряжений или токов на обоих элементах в окрестности резонансной частоты. Поскольку параметры и частота резонанса w₀ линейной цепи связаны условием w₀ = ЦLC, то для достижения резонанса необходимо изменять либо частоту, либо индуктивность или емкость, но не напряжение. Индуктивность нелинейной катушки непостоянна, а зависит от напряжения, поэтому феррорезонанс, то есть резонанс в цепи, включающей катушку с ферромагнитным сердечником и линейный конденсатор, может быть достигнут изменением величины приложенного к цепи напряжения.

Феррорезонанс при последовательном соединении катушки и конденсатора. Вольтамперная характеристика катушки для действующих значений тока и напряжения аналогична ее вебер-амперной характеристике — с увеличением тока по мере насыщения скорость роста напряжения замедляется. Рассмотрим контур с последовательным соединением катушки и линейного конденсатора (рис. 29.14, а), характеристика которого имеет вид прямой . Для получения вольтамперной характеристики соединения 

Рис. 29.14

пренебрежем потерями в катушке и будем считать, что зависимость отвечает эквивалентным синусоидам. При этих допущениях опережает ток на угол p/2, а отстает от него на тот же угол (рис. 29.14, б). Поэтому и находятся в противофазе — разность их фаз равна p, и для получения результирующей характеристики — напряжения на зажимах цепи — следует определить как модуль разности . Кривые , и изображены на рис. 29.14, в.

Если параметры цепи подобраны так, что характеристики и пересекаются, полученная результирующая кривая неоднозначна по напряжению. В точке резонанса, где и компенсируют друг друга, результирующее напряжение падает до нуля. Однако это является следствием принятой идеализации процессов в контуре, в первую очередь, пренебрежения потерями в сердечнике катушки. Реальная зависимость , получаемая экспериментально, изображена на рис. 29.14, а штриховой линией. Она имеет падающий участок, но минимум напряжения на зажимах цепи отличен от нуля, поскольку при наличии в цепи потерь напряжения и не могут полностью скомпенсировать друг друга, так как не находятся в противофазе.

При питании последовательного феррорезонансного контура от источника синусоидального напряжения по мере роста напряжения сначала наблюдается плавное увеличение тока до достижения напряжения (точка 1). Затем происходит бросок тока и переход в точку 1', после которого ток вновь плавно увеличивается. При уменьшении напряжения плавный характер уменьшения тока наблюдается до точки 2, из которой при напряжении имеет место скачкообразный переход в точку 2'. Таким образом, при питании цепи от источника напряжения падающий участок характеристики 1-2 не может быть снят экспериментально.

В режиме питания цепи от источника тока, который обеспечивается включением последовательно с контуром линейного элемента с большим сопротивлением, изменение тока в цепи имеет плавный характер, и при увеличении тока мы последовательно проходим всю немонотонную характеристику, включая ее падающий поток.

Феррорезонанс в контуре с параллельным соединением. Анализ процессов в контуре (рис. 29.15, а) при тех же допущениях об отсутствии потерь в катушке и замене несинусоидальных кривых эквивалентными синусоидами производится аналогично. При равенстве напряжений на элементах цепи токи в обеих ветвях находятся в противофазе (рис. 29.15, б), и результирующая вольтамперная характеристика цепи 

Рис. 29.15

 получается в результате вычитания абсцисс кривых и (рис. 29.15, в): . Это приводит к немонотонной характеристике, неоднозначной по току (см. рис. 29.15, в). Как и в предыдущем случае, полная компенсация токов в точке резонанса является следствием принятой идеализации и в реальном феррорезонансном контуре не наблюдается. Экспериментально наблюдаемая кривая проходит правее, но тоже имеет немонотонный характер (штриховая линия на рис. 29.15, в). В точке резонанса ненулевой минимум тока определяется, с одной стороны, не скомпенсированными высшими гармониками тока в катушке (компенсация токов имеет место лишь для 1-й гармоники, так как при питании от синусоидального источника ток конденсатора содержит лишь 1-ю гармонику, а ток катушки содержит высшие гармоники). С другой стороны, при резонансе не компенсируется активная составляющая тока в катушке, обусловленная потерями в сердечнике.

Многозначность характеристики определяет возможность скачкообразных изменений напряжения на контуре при его питании от источника тока, в этом случае при регулировании тока мы не попадаем на падающий участок характеристики. Наоборот, при питании параллельного контура от источника напряжения из-за однозначности зависимости изменение тока при регулировании напряжения имеет плавный характер, и возможно экспериментальное снятие падающего участка характеристики.

Такой же подход, основанный на графическом суммировании характеристик, можно использовать и при анализе более сложных цепей. Наличие активных и реактивных составляющих токов или напряжений требует осуществлять их суммирование геометрически в соответствии с правилами построения векторных диаграмм. При этом необходимо учитывать, что у феррорезонансных контуров при переходе через точку резонанса изменяется характер цепи с емкостного на индуктивный или наоборот.