30.6. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

Как было установлено выше, решения уравнения Ван-дер-Поля при малых значениях параметра m, имеют характер, близкий к синусоидальным. Это позволяет получить приближенное решение, основанное на предположении, что отдельные полуволны имеют синусоидальный характер с изменяющейся амплитудой: . При исследовании автономной системы можно произвольно выбрать начало отсчета и не учитывать ненулевую начальную фазу. Вычислим приближенные значения производных, входящих в уравнение Ван-дер-Поля, с учетом медленного изменения амплитуды процесса A:

.

Пренебрежем в этих выражениях малыми слагаемыми , и приближенно примем

 ; .

Подставим полученные соотношения и предполагаемое решение в уравнение:

или

.

Учитывая соотношение между тригонометрическими функциями , перепишем последнее равенство в виде:

.

Пренебрегая третьей гармоникой — третьим членом в правой части — отсюда можно получить простое дифференциальное уравнение для амплитуды — уравнение с разделяющимися переменными

 ;

 ,

откуда при интегрировании получим:

,

где t₀ — постоянная интегрирования.

Для амплитуды получаем явное представление

,

где k — постоянная, определяемая начальным значением амплитуды A(0) = A₀ при t = 0.

Полученное выражение показывает, что амплитуда автоколебаний в установившемся режиме A(¥) = 2. При переходе к размерным переменным, выраженным через характеристики генератора, найдем для амплитуды напряжения на входе усилителя

 ,

для выходного напряжения

 ,

где k₀ и k₁ определяют коэффициенты кубического полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику усилителя, а коэффициент a₁ зависит от структуры цепи обратной связи и параметров ее элементов.

Конец 30-й лекции и конец всего курса

Обратно к плану данной лекции