30.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ
Ранее мы установили существование автоколебательных режимов в активных цепях с обратными связями (п. 23.3). Анализ, выполненный в линейном приближении, не позволял установить в этих цепях амплитуду гармонических колебаний, которая определяется нелинейными свойствами элементов цепи, в частности, усилителя. Поэтому полный анализ автоколебаний следует проводить с учетом нелинейных свойств таких цепей.
|
|
Рассмотрим автоколебательную активную цепь, включающую усилитель с нелинейной зависимостью выходного напряжения от входного u2 = f(u1), охваченный линейной цепью обратной связи (рис. 30.13). Пусть она обладает передаточной функцией b(s) = U1(s)/ U2(s) = s/(a0s2 + a1s + a2). Такую передаточную функцию имеют цепи с двумя динамическими элементами, например, RC-цепи (см. рис. 23.6, в-д), а также RLC-цепи (см. рис. 23.8). |
Коэффициенты a0, a1 и a2 определяются параметрами цепи обратной связи. Передаточная функция b(s) соответствует временной связи между входным и выходным напряжениями усилителя, которая выражается дифференциальным уравнением
.
С учетом нелинейной характеристики усилителя выразим правую часть уравнения в виде du2/dt = (df/du1)(du1/dt). Это приводит к нелинейному дифференциальному уравнению относительно u1:
.
Напомним, что в линейной цепи при df/du1 = k = const генерация синусоидальных колебаний имеет место при обращении члена с первой производной du1/dt в нуль. При нелинейной зависимости u2 = f(u1) условие a1 - df/du1 = 0 может выполняться только для определенного фиксированного значения u1 = const, то есть оно не может соблюдаться в ходе всего цикла автоколебаний, когда u1 является переменной величиной. Поэтому автоколебания в нелинейной цепи не будут иметь строго синусоидального характера.
Рассмотрим случай, когда коэффициент усиления усилителя с повышением входного напряжения уменьшается. Простейшую аппроксимацию такой характеристики можно выразить кубическим полиномом u2 = f(u1) = k0 - k1 u13, в котором оба коэффициента k0 и k1 положительны. При такой аппроксимации для производной df/du1 имеем квадратичную зависимость df/du1= k0 - 3k1u12. С учетом этой зависимости перепишем уравнение для u1 в виде:
и
приведем его к безразмерному виду. Принимая
в качестве базисных величин 
,
получим
 , |
(30.1) |
где m = (k0 - a1)/(a2Tб), u*1 = u1/U0, t = t/Tб — безразмерные величины
Полученное уравнение называется уравнением Ван-дер-Поля. Таким образом, характер процессов в цепи определяется безразмерным параметром m
Исследуем сначала уравнение Ван-дер-Поля с помощью фазовой плоскости. Принимая в качестве фазовых переменных x1 = u*1; x2 = du*1/dt, запишем вместо уравнения (30.1) систему уравнений в нормальной форме:
Для построения фазовых траекторий воспользуемся методом изоклин. Из последней системы найдем дифференциальное уравнение, определяющее фазовые траектории:
откуда получим уравнения изоклин
При m = 0 — в линейной цепи без затухания — изоклины являются прямыми, выходящими из начала координат (рис. 30.14, а), а фазовые траектории имеют вид концентрических эллипсов. Эти траектории замкнуты, что определяет автоколебательный гармонический режим в линейной цепи. Амплитуда незатухающих колебаний определяется начальными условиями и не зависит от свойств цепи.
|
Рис. 30.14 |
Более сложный характер имеют процессы в нелинейной цепи. Степень влияния нелинейности характеристики усилителя определяется значением m, зависящим от параметров цепи. При достаточно малых напряжениях u*1 = x1 — в окрестности начала координат — нелинейные свойства цепи проявляются слабо, и при любых положительных m в начале координат имеет место неустойчивый фокус, от которого фазовые траектории расходятся в виде спиралей. Анализ характера изоклин, изображенных на рис. 30.14, б для значения m = 0,1, показывает, что при больших начальных значениях x1(0) фазовые траектории имеют свертывающийся характер. Это означает, что область вблизи начала координат и область удаления от него, разделены замкнутой фазовой траекторией (точка Р на рис. 30.14, б), |
к которой сходятся все остальные фазовые траектории как изнутри, так и снаружи. Этот предельный цикл является устойчивым и определяет автоколебательный периодический режим, который устанавливается в системе после окончания переходного процесса.
Параметры этого цикла позволяют определить амплитуду и характер колебаний в системе. При малых значениях параметра предельный цикл имеет форму, близкую к эллиптической, что соответствует синусоидальному характеру автоколебаний. При больших значениях m цикл деформируется, и колебания приближаются к релаксационным (рис. 30.14, в). В этом случае их анализ можно проводить численным интегрированием. При малых значениях m для анализа колебаний, близких к синусоидальным, можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд, предложенный Ван-дер-Полем.
Дальше
Обратно к плану лекции
