Состояния равновесия и периодические режимы в нелинейной цепи, как было установлено, могут быть неустойчивыми. Однако, само понятие устойчивости в нелинейной цепи требует уточнения. Поскольку в нелинейных цепях не действует принцип наложения и реакция цепи непропорциональна вызвавшему ее возмущению, способность системы возвращаться к состоянию равновесия существенно зависит от величины этого возмущения. В связи с этим для нелинейных систем различают устойчивость состояния равновесия “в малом”, когда вследствие малости амплитуды возмущения возможна линеаризация уравнений, описывающих возникающий переходный процесс, и устойчивость “в большом”, анализ которой учитывает отклонения от равновесия с достаточно большой амплитудой.

Устойчивость “в малом”. Ограничимся рассмотрением устойчивости равновесия нелинейных систем “в малом”, когда после линеаризации уравнений переходного процесса в окрестности точки равновесия приходим к линейной системе для отклонений, устойчивость которой анализируется рассмотренными ранее методами и сводится к определению характера расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Напомним, что такая система является устойчивой (см. п. 23.1), если все корни ее характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (Re l_i < 0).

Проанализируем сначала систему 1-го порядка, описываемую одним уравнением dx/dt = f(x). Подстановка значения x = x₀ + Dx в уравнение состояния

,

где x = x₀ — значение переменной состояния в точке равновесия, которой отвечает f(x₀) = 0, Dx — малое отклонение от него (Dx << x₀), позволяет получить линеаризованное уравнение для отклонения dDx/dt = Dx·¶f/¶x, в котором производная ¶f/¶x вычислена в точке равновесия. Равновесие устойчиво, если единственный в данном случае корень характеристического уравнения l = ¶f/¶x будет отрицательным (¶f/¶x < 0). Таким образом, устойчивость равновесия в системе 1-го порядка определяется характером наклона фазовой траектории в точке равновесия: отрицательный наклон определяет устойчивую точку (все точки равновесия на рис. 30.8), при положительном наклоне равновесие неустойчиво (см. рис. 30.7). Этот результат был уже получен ранее при анализе фазовых траекторий цепей 1-го порядка.

Нелинейная цепь n-го порядка описывается вектором переменных состояния и векторным уравнением состояния

.

Выражение для вектора правых частей возмущенной системы — при — принимает вид

,

где

— 

Якобиан системы уравнений в точке равновесия при .

Так как в точке равновесия f(x₀) = 0, то линеаризованная система уравнений для малых отклонений имеет вид:

.

Для устойчивости точки равновесия необходимо, чтобы все корни этого линейного характеристического уравнения l_i находились в левой полуплоскости. Эти корни представляют собственные числа матрицы и их находят из уравнения

.

Описанный подход является чисто математическим. Применение методов анализа цепей позволяет подойти к этому вопросу иначе. Линеаризация уравнений цепи равносильна тому, что все ее нелинейные элементы заменяются линейными, параметры которых равны их дифференциальным параметрам в точке равновесия. Поэтому после такой замены анализ устойчивости можно проводить на полученной линеаризованной цепи, исследуя характер изменения во времени приращений переменных состояния.

Анализ устойчивости цепи 2-го порядка. В качестве примера такого подхода рассмотрим цепь, изображенную на рис. 30.11, а, с источником постоянной ЭДС e₀. Пусть все входящие в цепь элементы являются нелинейными. В результате линеаризации получим схему, изображенную на рис. 30.11, б. Источник ЭДС на этой схеме закорочен, так как его величина определяет лишь токи, отвечающие состоянию равновесия. При переходе к схеме анализа приращений переменных состояния входящие в исходную схему источники ЭДС закорачиваются, а источники тока размыкаются. 

Рис. 30.11

Система уравнений для приращений и имеет вид:

,

а линеаризованное уравнение состояния в матричной форме

.

Отсюда следует характеристическое уравнение

,

или

.

Для расположения в левой полуплоскости обоих корней полученного квадратного уравнения необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты имели одинаковые знаки, или

.

Записанные два неравенства и выражают условия устойчивости рассматриваемой цепи. В частности, эти условия выполняются для цепи, имеющей либо все положительные, либо все отрицательные дифференциальные параметры в данной точке равновесия. 

Полученные соотношения позволяют проанализировать и более простые частные случаи. Так, для безындуктивной цепи (рис. 30.12, а) достаточно положить

Рис. 30.12

в характеристическом уравнении L_Д = 0; условием устойчивости будет единственное неравенство (R_Д1 + R_Д2)/(C_ДR_Д1R_Д2) > 0, или (G_Д1 + G_Д2)/C_Д > 0 (G_Д = 1/R_Д). Если, наоборот, отсутствует емкость в цепи (рис. 30.12, б), то аналогично получаем (R_Д1 + R_Д2)/L_Д > 0, принимая в условиях для цепи 2-го порядка C_Д = 0. Это неравенство подтверждает, в частности, вывод о характере устойчивости точек равновесия в цепи с туннельным диодом (см. рис. 30.5, а), для которой при учете неравенства L_Д = L > 0 условие устойчивости можно привести к виду R_Д + R > 0, что полностью соответствует полученным ранее результатам.