Рассмотрим требования к элементам цепи, генерирующей синусоидальные автоколебания на частоте w₀. Такая цепь включает в себя усилитель напряжения k (рис. 23.5) и пассивную цепь обратной связи с передаточной функцией b(s) = U₁(s)/U₂(s).

Разделяя в последнем равенстве вещественную и мнимую части, получим условия баланса фазы и амплитуды:

Таким образом, цепь обратной связи на частоте генерации должна обеспечивать фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами q = 0 или 180°, а ослабление амплитуды сигнала на этой частоте цепью обратной связи b(jw₀) должно компенсироваться соответствующим подбором значения коэффициента усиления k. При q = 0 коэффициент усиления k > 0, а при q = 180° k < 0, т. е. в этом случае усилитель должен обладать инвертирующим свойством.

Рассмотрим RС- и LC-генераторы. Из условий баланса следует, что цепи первого порядка нельзя использовать в качестве цепей обратной связи в генераторах, так как они не обеспечивают требуемый сдвиг фаз q на конечных частотах. Не подходят по тем же причинам и RС-цепи 2-го порядка с характеристиками фильтра верхних или нижних частот (рис. 23.6, а,б).

Рис. 23.6

Однако цепи, обладающие частотными характеристиками полосового фильтра (рис. 23.6, в – д), могут обеспечить необходимые требования. Это следует, в частности, из того, что поскольку такие цепи 2-го порядка не пропускают сигналы ни при w = 0, ни при w = ¥, то общее выражение их передаточной функции имеет вид

.

На частоте s = jw, при которой достигается компенсация членов a₀s² + a₂ = 0 т. е. или , передаточная функция цепи обратной связи становится вещественной , и поэтому нахождение коэффициентов передаточной функции a₀, a₁ и a₂ цепи обратной связи, по существу, и решает задачу определения параметров генератора. При этом коэффициент усиления усилителя равен k = a₁.

Иной распространенной схемой RС-генератора является схема с цепью обратной связи 3-го порядка (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Ее передаточная функция имеет общее выражение

,

или при s = jw

.

В этом случае частоту генерации определяют из условия вещественности передаточной функции – a₁w² + a₃ = 0, или , а коэффициент усиления — из условия баланса амплитуд k = 1/b(jw₀) = (a₀a₃ – a₁a₂)/a₀a₃.

При равенстве параметров элементов цепи обратной связи C₁ = C₂ = C₃ = C и R₁ = R₂ = R₃ = R, что обычно и используется на практике, передаточную функцию цепи обратной связи определим следующим образом. Так как I_R3₃ = I_C3₃ = U₁/R, то . Выразим через введенные величины напряжение . Ток , а ток . Поэтому напряжение . Подобным образом находим далее и . Это позволяет получить ток . Окончательно рассчитаем напряжение на входе цепи обратной связи: , что приводит к следующему выражению для передаточной функция цепи обратной связи

,

где t = RC.

Таким образом, коэффициенты передаточной функции в рассматриваемом случае равны a₀ = t³; a₁ = 6t²; a₂ = 5t; a₃ = 1; для частоты автоколебаний генератора имеем , а коэффициент усиления k равен .

В схемах обратных связей генераторов используются также резонансные контуры с индуктивными катушками. В одной из простейших схем LС-генератора (рис. 23.8, а) вещественность передаточной функции цепи обратной связи обеспечивается на частоте резонанса LС-контура ω₀ = 1/ЦLC, когда токи в ветвях этого контура взаимно компенсируются, и передаточная функция b(jw₀) равна R₂/(R₁ + R₂). Отсюда следует, что коэффициент усиления усилителя k = 1/b(jw₀) = 1 + R₁/R₂. Расчет характеристик w₀ и k других схем LC-генераторов с неполным включением катушки (рис. 23.8, б), конденсатора (рис. 23.8, в) и взаимной индуктивностью (рис. 23.8, г). изображенных на рис. 23.8 генераторов проводят аналогично.

Рис. 23.8