Тема 13. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ПЕРВОГО ПOРЯДКА (задачи с решением)

Перейти к задачам без решения

Определим сначала начальное значение переменной состояния — напряжения на конденсаторе u_C(0), рассматривая состояние цепи до коммутации — при разомкнутом ключе. В этом режиме ток  протекал лишь по последовательно включенным резисторам R₁, R₂, R₄, а напряжение на конденсаторе определялось суммой падений напряжения на R₂ и R₄. Соответственно, выражение для u_C(0) имеет вид

После окончания переходного процесса, связанного с замыканием ключа, токораспределение в цепи имеет более сложный характер: резистор R₃, включаемый в цепь, образует параллельную ветвь по отношению к R₁ и R₂, а резистор R₄ включен последовательно с остальной цепью. Из этих условий найдем u'_C = u_C(Ґ):

Для определения постоянной времени в схеме после коммутации закорачиваем источник ЭДС и находим входное сопротивление резистивной части по отношению к зажимам конденсатора. В полученной таким образом цепи (рис. П13.1, б) резисторы R₃ и R₄ оказываются параллельными друг другу, R₂ включен с ними последовательно, а R₁ параллелен общему сопротивлению R₂₃₄. В результате получим:

Для напряжения u_C(t) в рассматриваемой цепи окончательно будем иметь

Принимая сопротивления всех резистивных элементов цепи одинаковыми R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R, найдем u_C(Ґ) = 4E₀/5, u_C(0) = 2E₀/3, τ = 3RC/5, что дает в итоге

Установившееся значение переменной состояния — тока в индуктивности i_L' = I_mL sin (wt + y_L) — найдем, используя комплексный метод.

Для этого определим комплексную передаточную проводимость цепи в режиме после коммутации Y_L0(jw) = , где — комплексная амплитуда входного напряжения u(t) = U_m0 sin (wt + y), y — его начальная фаза. Для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности имеем , поэтому ток в параллельно включенной ветви . Значение тока во входной ветви равно , а падение напряжения на резисторе R₁ во входной ветви . Используя второй закон Кирхгофа, выразим входное напряжение

Это позволяет выразить искомую передаточную проводимость Y_L0 как

поэтому комплексная амплитуда тока в индуктивности равна

Подставляя численные значения, получим

Перейдем к мгновенному значению тока

Начальное значение тока в индуктивности i_L (0) определяем в результате анализа цепи до коммутации, когда она включала в себя резистор R₃. Передаточную проводимость в этом режиме найдем аналогично:

, ; .

Поэтому искомая передаточная проводимость равна

Для комплексной амплитуды тока в режиме до коммутации получим после подстановки численных значений

где a = arctg 1/3 »  18°.

Мгновенное значение тока в режиме перед коммутацией i_L = Ц10 sin (wt + y – a), а его значение в момент замыкания ключа (при t = 0) i_L(0) = Ц10 sin (y – a).

Определим далее постоянную времени цепи t. При удалении источника (закорачивании входных зажимов цепи) эквивалентное сопротивление относительно зажимов индуктивности равно R_н = R₁R₂/(R₁ + R₂) = 5 Ом; параметр, включающий постоянную времени wt = wL/ R_н = 1, поэтому t = 1/w.

Окончательно запишем выражение для тока i_L в виде

где b = arctg 1/2 »  26,5°. В последнем выражении учтено, что множитель при апериодической составляющей преобразуется следующим образом:

Если напряжение источника в момент замыкания ключа переходит через нуль — его начальная фаза равна нулю (y = 0), то выражение для множителя, входящего в апериодическую составляющую, упрощается и становится равным . В этом случае общее выражение для тока принимает вид

Значение апериодической составляющей максимально и равно  »  4,48 при cos(y + b) = 1, или y = – b »  – 26,5°, когда для тока переходного процесса имеем:

При y + b =π/2, или y  = 63,5°, апериодическая составляющая, наоборот, отсутствует, и в цепи немедленно после коммутации устанавливается синусоидальный режим.

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 15.