15.4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ 1-ГО ПОРЯДКА, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННЫХ И СИНУСОИДАЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Рассмотренные выше примеры позволяют сделать вывод о том, что переходный процесс в цепи, содержащей произвольное число резисторов, условно изображенных на рис. 15.7 в виде резистивного активного двухполюсника, и один конденсатор или одну катушку, описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Рис. 15.7

Его решение для переменной состояния всегда будет иметь общий вид

где x — переменная состояния  — напряжение u_C или ток i_L. Следовательно, задача нахождения переменной состояния сводится к определению трех величин: установившегося значения x', постоянной интегрирования A и постоянной времени t.

Все их можно найти без составления дифференциального уравнения цепи. Действительно, величина x' представляет собой значение переменной состояния, которое будет достигнуто после завершения переходного процесса. Для ее определения следует рассмотреть установившийся режим при t ®  ¥. Если в цепи действуют только постоянные источники, то в этом случае приходится рассматривать лишь резистивную цепь после коммутации при разомкнутом конденсаторе или закороченной катушке.

Поскольку искомая величина х является переменной состояния, она сохраняет непрерывность в момент коммутации, и если известно ее значение до коммутации x(– 0), то из закона коммутации следует, что x(+ 0) = x(– 0) = x'(0) + A, откуда A = x(– 0) – x'(0). Само значение x(– 0) определяют из анализа цепи до коммутации, когда предполагается, что цепь также находилась в установившемся режиме. Использование полученного значения постоянной А позволяет записать

В этом выражении осталось определить постоянную времени t. Ранее мы ее находили из характеристического уравнения, составленного для однородного дифференциального уравнения, соответствующего цепи с исключенными источниками. Значит, для нахождения постоянной времени входящие в резистивный двухполюсник (рис. 15.7) источники ЭДС надо закоротить, а источники тока — разомкнуть. В результате получаем пассивный резистивный двухполюсник, который при переходном процессе взаимодействует с динамическим элементом цепи — катушкой или конденсатором. По отношению к зажимам динамического элемента эту резистивную цепь можно свернуть — заменить эквивалентным резистором R_э подобно тому, как это делалось при расчете внутреннего сопротивления методом эквивалентного источника (см. п. 6.4). Заменив резистивный двухполюсник сопротивлением R_э, найдем постоянную времени емкостной цепи t = R_эC и индуктивной цепи t = L/R_э.

Пример расчета переходного процесса в цепи 1-го порядка, находящейся под действием постоянного напряжения, дан в Задаче 13.1 и синусоидального напряжения — в Задаче 13.2.