2.2. МАТРИЦЫ ГЛАВНЫХ КОНТУРОВ И СЕЧЕНИЙ

При матричном описании топологии цепи осуществим нумерацию ветвей, начиная с ветвей выбранного дерева, а затем учтем ветви связей. При записи матрицы B, отвечающей главным контурам цепи, выберем направление обхода контуров совпадающим с направлением связей. Расположим строки в матрице главных контуров в том же порядке, что и ветви связей. Такая упорядоченная нумерация ветвей и главных сечений приведет к тому, что подматрица, включающая столбцы, отвечающие связям, представляет собой единичную матрицу. Это вполне естественно, так как соответствует использованному принципу выбора главных контуров. В результате можно представить матрицу главных контуров в виде совокупности подматрицы B_д — матрицы главных контуров для ветвей дерева, и единичной матрицы, размер которой отвечает числу связей графа. Для обозначения единичной матрицы будем использовать символ 1. Имеем: . Очевидно, что существенную информацию о структуре цепи несет лишь матрица B_д.

Аналогично поступим и при формировании матрицы главных сечений D. Расположим ее строки, отвечающие главным сечениям, в порядке нумерации ветвей дерева, а ориентацию главных сечений выберем так, чтобы она совпадала с направлением соответствующей ветви дерева. Такой порядок расположения строк и столбцов в матрице главных сечений опять приводит к тому, что ее часть, соответствующая ветвям дерева, представляет единичную матрицу, а существенная информация содержится лишь в остальной части D_с – матрице главных сечений для связей. Таким образом, при указанном способе нумерации ветвей и главных сечений матрица главных сечений имеет следующую структуру: .

Установим связи между матрицами A, B и D одной и той же цепи, построенными на основе одного дерева и имеющими единый порядок нумерации ветвей.

Рассмотрим матричное произведение S = B × A^t (индекс “ t ” означает транспонирование). Элемент этой матрицы s_jk = Sb_jla_lk, соответствующий j-му контуру и k-му узлу, будет иметь отличные от нуля слагаемые лишь в том случае, если ветвь с индексом l одновременно входит в j-й контур и подключена к k-му узлу. Число таких ненулевых слагаемых в сумме s_jk обязательно равно двум, так как к каждому узлу подключены две ветви, входящие в данный контур. Элементы матриц A и B, отвечающие рассматриваемой паре ветвей, могут иметь различные знаки в зависимости от ориентации ветвей. Всего возможны четыре различных варианта (рис. 2.1). Так как во всех этих случаях сумма ненулевых слагаемых s_jk равна нулю, то все элементы матричного произведения равны нулю: B × A^t = 0.

Рис. 2.1

Так как внутри каждого сечения находится определенное число узлов, то соответствующая этому сечению строка матрицы D равна взятой со знаком “плюс” или “минус” сумме строк матрицы A, отвечающих узлам, охваченным данным сечением. Таким образом, все строки матрицы D представляют собой линейные комбинации строк матрицы A. Поэтому соотношение, аналогичное найденному выше для матрицы B, будет справедливо и для матрицы D: B × D^t = 0.

Использование полученных ранее представлений матриц B и D через подматрицы ветвей дерева и связей позволяет переписать равенство следующим образом:

Отсюда следует, что матрицу контуров для ветвей дерева можно выразить через матрицу сечений для дополнения дерева

Аналогично выведем и равенство

Рассмотрим далее соотношения между напряжениями и токами ветвей дерева и связей. Представим вектора токов и напряжений разделенными в соответствии с делением ветвей цепи на ветви дерева и связей:

Тогда из первого закона Кирхгофа для сечений цепи будем иметь

Использование полученного выше соотношения между матрицами позволяет записать последнюю связь в виде

Поэтому все токи данной цепи могут быть представлены с помощью матрицы контуров через токи связей

Аналогично из второго закона Кирхгофа имеем

Отсюда следует

Это позволяет выразить полную совокупность напряжений данной цепи через напряжения ветвей дерева:

Таким образом, топологические матрицы B и D позволяют представить все токи и напряжения цепи через токи связей и напряжения ветвей дерева.