2.3. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Система уравнений, позволяющая решать задачу анализа цепи, включает компонентные и структурные уравнения.

Компонентные уравнения выражают соотношения меду токами и напряжениями на отдельных ветвях цепи. Сюда относятся закон Ома и соответствующие соотношения для индуктивностей и емкостей (см. Табл. 1.1), связи токов и ЭДС управляемых источников с управляемыми величинами.

При описании цепи в качестве ветвей можно рассматривать не только перечисленные идеализированные элементы. Для получения более компактной системы уравнений отдельные двухполюсные фрагменты цепи, включающие несколько элементов, представим как составные ветви. Это целесообразно в том случае, когда распределение токов и напряжений внутри такого фрагмента не представляет интереса. 

Компонентные уравнения составных ветвей можно получить суммированием напряжений и токов на участках рассматриваемого фрагмента. Для первых двух составных ветвей (рис. 2.2, а,б) они имеют одинаковую форму u = Ri – RJ – e или тождественную ей: i = G(u + e) + J (G = 1/R). Составная ветвь (рис. 2.2, в) описывается компонентным уравнением i = (G₁ + G₂ + G₃)u + G₁e₁ + G₂e₂ + G₃e₃.

Рис. 2.2.

При изображении графа цепи вся составная ветвь заменяется одной дугой, т. е. информация о ее внутренней структуре в граф не входит. 

Из приведенных компонентных уравнений линейных резистивных цепей без управляемых источников, изображенных на рис. 2.2, следует, что для невырожденных составных ветвей эти уравнения могут быть записаны в общей форме u(i) или i(u):

или

Однако компонентные уравнения ветвей, состоящих из идеальных источников ЭДС и тока, содержат информацию лишь об одной из величин — u или i. Такие ветви называются вырожденными.

Как было указано, независимой является система, составленная по первому закону Кирхгофа для всех узлов цепи, кроме одного, и система контуров — элементарных ячеек планарной цепи для записи уравнений второго закона. В общем случае для получения независимой системы следует выбрать дерево цепи и составить уравнения первого закона для главных сечений выбранного дерева и уравнения второго закона для его главных контуров.

Для цепи с n ветвями и q узлами при отсутствии вырожденных ветвей, состоящих из идеальных источников, система уравнений электрической цепи содержит n компонентных уравнений, q – 1 уравнение первого закона Кирхгофа и n – q + 1 уравнение второго закона. Полученная система таким образом 2n уравнений определяет n неизвестных токов и n напряжений.

Применение обоих способов составления уравнений Кирхгофа рассматривается в Задаче 1.1.

При наличии идеальных источников формирование структурных уравнений целесообразно осуществить на основе дерева, включающего все идеальные источники ЭДС и не включающего идеальных источников тока, которые следует отнести к связям. В этом случае токи и идеальных источниках ЭДС и напряжения на идеальных источниках тока появятся в обособленных уравнениях, которые можно не включать в подлежащую совместному решению систему, составленную для токов невырожденных связей. Таким образом, для цепи, включающей n_e ветвей с идеальными источниками ЭДС и n_J ветвей с идеальными источниками тока, система, подлежащая совместному решению, будет содержать на n_e + n_J уравнений меньше. Число неизвестных токов в такой системе будет n – n_e, а число искомых напряжений — n – n_J.

Пример составления уравнений для подобной цепи рассмотрен в Задаче 1.2.