2.4. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Введенные матрицы соединений, контуров и сечений позволяют записать совокупность независимых уравнений Кирхгофа для данной цепи. Введем вектор-столбец размера p — общее число ветвей цепи, элементы которого представляют токи ветвей цепи, и аналогичный вектор напряжений ветвей:

Тогда система независимых уравнений первого закона Кирхгофа может быть записана для узлов цепи в форме матричного произведения: Ai = 0, или для независимых (главных) сечений Di = 0.

Аналогично, второй закон Кирхгофа приводит к матричному уравнению Bu = 0 или при выделении ЭДС источников Bu = Be, где e — вектор-столбец ЭДС ветвей цепи, записываемый аналогично вектору напряжений u.

Для получения полной системы уравнений к структурным уравнениям необходимо добавить p компонентных уравнений, выражающих связи между токами, напряжениями и характеристиками источников ЭДС и тока.

В линейных цепях без управляемых источников компонентные уравнения для составных ветвей, включающих резистивные элементы, источники ЭДС и тока, могут быть записаны в матричной форме:

u = Ri –e или i = Gu + J,

где R — диагональная матрица сопротивлений составных ветвей; G = R^– 1 — диагональная матрица проводимостей ветвей; e — вектор-столбец ЭДС составных ветвей, J — вектор-столбец токов источников составных ветвей.

При рассмотрении действующих в цепи идеальных источников ЭДС и тока в качестве отдельных ветвей эти ветви являются вырожденными, и приведенная выше матричная форма компонентных уравнений для этих ветвей должна быть изменена. В этом случае нумерацию ветвей осуществляют в следующем порядке: 
1) ветви идеальных источников ЭДС;
2) невырожденные ветви;
3) ветви идеальных источников тока. 
Это соответствует разбиению векторов i и u токов и напряжений ветвей на три группы:

индексация которых указывает на принадлежность к отдельным перечисленным группам.

Структурные уравнения в этом случае сохраняют силу, а компонентные уравнения для выделенных групп будут иметь вид:

или

где R = G^– 1 — диагональная матрица сопротивлений резистивных ветвей; e — вектор источников ЭДС вырожденных ветвей размера n_e ´  1; J — вектор источников тока вырожденных ветвей размера n_J; e_R и J_R — вектор-столбцы ЭДС и токов невырожденных составных ветвей, учитывающие действующие в них источники обоих видов.

Как уже указывалось, при включении всех источников ЭДС в дерево их токи i_e в уравнениях первого закона для главных сечений входят в обособленные уравнения. Также напряжения идеальных источников тока u_J войдут в обособленные уравнения второго закона для главных контуров, если эти источники отнесены к связям.

Это позволяет ограничить число совместно решаемых уравнений уравнениями главных сечений резистивных ветвей дерева, уравнениями главных контуров резистивных связей и компонентными уравнениями резистивных ветвей.

Пример составления матричных уравнений электрической цепи приведен в Задаче 1.3.