6.3. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ

Принцип взаимности определяет связи между токами и напряжениями в двух ветвях пассивной цепи при действии в них источников различного характера.

1. Рассмотрим две ветви k и m пассивной электрической цепи, обозначенной на рис. 6.3, а как П.

Рис. 6.3

Пусть единственный источник ЭДС e, действующий в ветви k, вызывает в ветви m ток i_m. Тогда при действии такого же источника e в ветви m (рис. 6.3, б) той же цепи ток i_k в ветви k, обусловленный этим источником, будет равен току i_m. Сформулированный принцип не является очевидным. Для его обоснования запишем для цепи, изображенной на рис. 6.3, а, с помощью правила Крамера (см. п. 4.5) решение алгебраической системы контурных уравнений, составленных таким образом, чтобы ток i_k в k-й ветви совпал с k-м контурным током, а ток i_m — с m-м контурным током. В этом случае 

i_m = e_kD_km/D =e_k/r_km, 

где D — определитель матрицы контурных сопротивлений R_к, D_km — алгебраическое дополнение элемента R_km этой матрицы, r_km = D/D_km — сопротивление передачи от k-ого контура к m-му. Его смысл следует из приведенного равенства: оно определяет ток в m-й ветви, обусловленный источником ЭДС, действующим в  k-й ветви. 

Для схемы, изображенной на рис. 6.3, б, при том же выборе контуров получим: i_k = e_mD_mk/D = e_m/r_mk. Здесь все величины аналогичны по смыслу записанным выше.

Сопоставление выражений для i_k и i_m показывает, что при равенстве e_k = e_m имеем i_k = i_m, поскольку матрица контурных сопротивлений R_к

пассивной цепи симметрична (R_km = R_mk) и, следовательно, равны друг другу алгебраические дополнения D_km = D_mk и сопротивления передачи r_km = r_mk. Таким образом, принцип взаимности устанавливает равенство сопротивлений передачи от k-ого контура к m-му и обратно в пассивной цепи.

2. Дуальная формулировка выражает связи между напряжениями на участках цепи m и k, обусловленными действием в цепи источников тока (рис. 6.4, а).

Рис. 6.4

При переносе источника J в ветвь m (рис. 6.4, б) он вызовет на участке k такое же напряжение u_k, какое было в исходной цепи (рис. 6.4, а) в ветви m. Это свойство пассивной цепи вытекает из симметрии матрицы узловых проводимостей пассивной цепи. Оно может быть доказано с использованием узловых уравнений.

Понятие проводимости передачи g_km, определяющее напряжение на ветви m, создаваемое током J_k: u_m = J_k/g_km, приводит к формулировке принципа взаимности в виде равенства проводимостей передачи между узлами k и m: g_km = g_mk.

3. Еще одно проявление принципа взаимности можно обнаружить при сравнении тока i_m, вызванного источником тока J_k, и напряжения u_k, обусловленного действием ЭДС e_m (рис. 6.5 а,б).

Рис. 6.5

Отношение i_m/J_k — коэффициент передачи тока от ветви k к m — равно коэффициенту передачи напряжения u_k/e_m в противоположном направлении — от ветви m к ветви k.

Полученная связь также обусловлена симметрией контурных уравнений пассивных цепей. Проиллюстрируем ее на простейшем примере Г-образного четырехполюсника (рис. 6.6 а,б).

Рис. 6.6

Для обеих цепей имеем

,

откуда следует, что i₂/J₁ = u₁/e₂ = R₁/(R₁ + R₂).

Таким образом, принцип взаимности выражает определенную симметрию между величинами на входе цепи, к которым прикладывается воздействие, и реакцией на это воздействие на выходе цепи. Этот принцип действует только в пассивных цепях (не содержащих управляемых источников), поскольку такие источники вносят несимметрию в матрицу узловых проводимостей или контурных сопротивлений.

Применение принципа взаимности в сочетании с принципом наложения позволяет упростить расчет токов или напряжений в ветвях, содержащих источники ЭДС или тока. Например, если в цепи, включающей два источника ЭДС e₁ и e₂, требуется определить токи i₁ и i₂ в ветвях, в которых находятся эти источники, достаточно определить токи i₁₁ и i₂₁ в первой и второй ветвях, вызванные первым источником e₁. При рассмотрении действия источника e₂ можно ограничиться расчетом тока лишь во второй ветви i₂₂. Поскольку из принципа взаимности следует, что i₁₂/e₂ = i₂₁/e₁, то ток i₁₂ можно определить как i₁₂ = i₂₁e₂/e₁.