7.2. ВЕКТОРНОЕ И КОМПЛЕКСНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Суммирование синусоидальных сигналов упрощается при их представлении с помощью вращающихся векторов. Проекция вектора с модулем I_m, вращающегося с круговой частотой w (рис. 7.3, а), на вертикальную ось равна мгновенному значению изображаемого тока i. Развертка во времени этой проекции дает график синусоиды (рис. 7.3, б).

Рис. 7.3

Изображение двух сигналов одной частоты (рис. 7.3, в) учитывает их фазовый сдвиг. Относительное расположение векторов на плоскости — векторной диаграмме — не изменяется в течение периода, так как оба вектора вращаются с одинаковой скоростью. Поэтому задачу суммирования мгновенных синусоидальных токов в соответствии с первым законом Кирхгофа (рис. 7.2) можно свести к суммированию изображающих эти токи векторов (рис. 7.3, в). Подобным же образом суммируются векторы, изображающие напряжения в контуре цепи согласно второму закону Кирхгофа. Обычно векторные диаграммы строят не для амплитуд токов и напряжений, а для их действующих значений.

Для введения комплексного изображения синусоидальной величины напомним формулу Эйлера cos (wt + y) + j sin (wt + y) = e^j(wt + y), (в которой для мнимой единицы использовано принятое в технических дисциплинах обозначение ). Будем изображать синусоидальную величину I_m sin (wt + y) комплексным числом I_m e^j(wt + y), аргумент которого равен аргументу синуса, а модуль — амплитуде тока. Его изображение на комплексной плоскости (рис. 7.3, а) тождественно изображению синусоидального тока на векторной диаграмме с помощью вектора I_m. При определении взаимной ориентации векторов, отвечающих сигналам одной частоты, всю необходимую информацию несет комплексная величина İ_m = I_m e^jy — комплексная амплитуда, равная комплексному изображению мгновенного тока при t = 0.

Условно запишем выполненное преобразование:

Аналогично вводятся комплексные амплитуды напряжений и ЭДС:

Комплексные амплитуды (или комплексные действующие токи и напряжения ) содержат информацию о фазовых сдвигах суммируемых величин также, как и векторная диаграмма. Поэтому к ним применимы уравнения Кирхгофа. Так, для суммы токов ветвей (рис. 7.2, а): İ_m = İ_m1 + İ_m2. Используя комплексные амплитуды, перепишем это равенство в форме:

Модуль полученного комплексного числа равен:

где q = y₁ – y₂ — угол сдвига фаз обоих токов.

Аналогично суммируются и действующие комплексные токи: İ = İ₁ + İ₂.

Для перехода от мгновенного значения синусоидального тока i(t) к его комплексной амплитуде İ_m (действующему значению İ) следует записать комплексное число, модуль которого равен амплитуде тока I_m (действующему значению I), а аргумент — начальной фазе y:

прямое преобразование

(7.1)

Определение комплексных токов и напряжений по их мгновенным значениям иллюстрируется Задачей 7.1.

Для обратного перехода — нахождения амплитуды I_m, действующего значения I и начальной фазы y имеем обратное преобразование

(7.2)

В последних формулах вместо a и b можно использовать a_m и b_m.

Мгновенные и комплексные значения напряжений и ЭДС связаны аналогичными соотношениями.

Определение мгновенных значений синусоидального сигнала по их комплексным изображениям иллюстрируется Задачей 7.2.