7.5. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Понятия комплексных токов и напряжений , , комплексных сопротивлений и проводимостей Z и Y лежат в основе комплексного метода расчета цепей синусоидального тока.

Для расчета цепи необходимо перейти от заданных характеристик действующих в цепи источников ЭДС и тока, используя формулы прямого преобразования (7.1), к их комплексным изображениям: ; (,  — действующие ЭДС и токи, y_e, y_J — их начальные фазы). При наличии единственного источника его начальную фазу можно принять равной нулю, тогда его комплексное изображение будет вещественным. Далее вводятся комплексные сопротивления (или проводимости) элементов цепи: Z_R = R; Z_L = jwL; Z_C = 1/jwC или Y_R = 1/R; Y_L = 1/jwL; Y_C = jwC. Эти величины выражают связи комплексных токов и напряжений на элементах цепи: (). Сами комплексные токи и напряжения подчиняются законам Кирхгофа: ; . Поэтому далее комплексные величины рассчитываются на основе уравнений Кирхгофа либо вытекающих из них узловых или контурных уравнений. При этом матрицы узловых проводимостей Y_у или контурных сопротивлений Z_к, формируемые из комплексных проводимостей или сопротивлений элементов цепи, имеют комплексные элементы.

К комплексным величинам и можно применять принципы наложения и взаимности. Комплексные сопротивления Z и проводимости Y подчиняются правилам суммирования и преобразования при последовательном и параллельном соединениях, тождественным правилам преобразованиям сопротивлений R и проводимостей G резистивных элементов.

Таким образом, комплексный метод позволяет распространить на расчет цепей синусоидального тока все известные способы и методы расчета резистивных цепей. Их соответствие расчетным величинам и формулам комплексного метода показано в Tабл. 7.2.

Значения комплексных токов и напряжений определяют действующие значения как модуль соответствующей комплексной величины (или его амплитуду, если при анализе используются комплексные амплитуды). Начальная фаза равна аргументу соответствующей комплексной величины. Таким образом, для перехода от комплексных изображений и к представлению искомых величин во временной области i(t) и u(t) используются формулы обратного преобразования (7.2).

Таблица 7.2.

Обозначения величин и соотношений

Пример применения комплексного метода к расчету цепи с одним источником ЭДС рассмотрен в Задачe 7.4. В Задачe 7.5 приведен пример расчета цепи с двумя источниками методом узловых напряжений.