17.2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ
Аналитическое решение уравнения состояния dх/dt = Ах + F(t) наиболее компактно можно получить на основе матричного аппарата. Рассмотрим сначала скалярное (одномерное) уравнение dх/dt = ах + f(t). Искать его решение будем методом вариации постоянной. Поскольку решение однородного уравнения можно записать в виде х = еаtg0 (g0 — константа), то решение неоднородного уравнения ищем в форме х = еаtg(t) (g(t) — функция времени). Подставляя это представление в дифференциальное уравнение, получим
аеаtg(t) + еаtdg/dt = аеаtg(t) + f(t),
откуда после упрощения получим
dg/dt = е-аt f(t).
Интегрирование приводит к результату
который позволяет записать общее решение исходного одномерного уравнения в виде
Учитывая заданное начальное значение искомой переменной х(0) = х0, найдем постоянную g0 = х0 и окончательно запишем для одномерного уравнения
Этот результат можно обобщить на многомерный случай с помощью матричной экспоненты еAt:
где матрица еAt квадратная и имеет порядок n, как и матрица А.
В полученное выражение входит вектор начальных значений переменных состояния x0[х1(0), х2(0),..., хп(0)], они определяются в результате анализа режима в цепи непосредственно перед коммутацией. Первое слагаемое в выражении для х(t) отражает свободный процесс в цепи — изменение переменных состояния под действием запасенной в цепи при t = 0 энергии и отсутствии внешних источников (закороченных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока).
Способы вычисления компонент матричной экспоненты еAt и их выражения для n = 2 даны в Приложении 3.
Для частных случаев закона изменения внешних источников, определяющего вид члена F(t), решение упрощается. Так, при действии постоянных источников F(t) = F0 = cоnst, интеграл, входящий в решение х(t), можно вычислить. Вынося F0 из-под интеграла, получим
Из исходного уравнения следует, что в рассматриваемом случае первое слагаемое х' определяет составляющую решения, отвечающую режиму, устанавливающемуся в цепи после окончания переходного процесса при t ® Ґ. Действительно, в установившемся режиме при действии постоянных источников переменные состояния не зависят от времени и dх'/dt = 0. Следовательно, из исходного уравнения состояния для составляющей х' будем иметь
откуда
Очевидно, эту составляющую можно найти путем непосредственного анализа цепи при t ® Ґ.
Следовательно, решение для цепи, находящейся под действием постоянных источников, можно записать в виде
|
(17.1) |
Формула (17.1) является обобщением на многомерный случай полученной ранее в п. 15.4 формулы для цепи первого порядка. Последняя матричная формула определяет и результат для цепи, находящейся под действием синусоидальных источников. В этом случае x' = x'(t) — вектор переменных состояния в режиме после окончания переходного процесса (при t ® Ґ), а x'(0) — значение этого вектора в момент коммутации.
Для вычисления последовательности значений xk при постоянном шаге по времени Dt = h удобнее использовать не формулу (17.1), требующую вычисления матричной экспоненты для каждого момента времени t, а рекуррентные соотношения, выражающие переменные состояния через их значения на предыдущем шаге. Для получения таких связей при действии в цепи постоянных и синусоидальных источников используем формулу (17.1), которую для одного шага процесса можно переписать в виде
Матрицу eAh вычисляют один раз; при малом шаге h ее удобно определить, используя несколько начальных членов степенного разложения матричной экспоненты (см. Приложение 3). На первом шаге в качестве xk используют вектор начальных условий x(0), а затем процесс вычислений сводится к перемножению и суммированию матриц и векторов в соответствии с полученным разностным уравнением. Если в цепи действуют лишь постоянные источники, то в последнем соотношении можно выделить вектор (1 – eAh)x'. Он постоянен и его тоже можно вычислить один раз.
Пример расчета переходного процесса с помощью матричной экспоненты, дан в Задаче 14.2.
