19.4. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПОЛУЧЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ НЕНУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
Расчет переходного процесса операторным методом состоит из трех этапов.
Первый этап — переход от оригиналов к изображениям — прямое преобразование Лапласа исходных данных задачи — уравнений электрической цепи, законов изменения во времени действующих на цепь источников, начальных условий. Переход к изображениям источников ЭДС и тока выполняют с помощью формулы прямого преобразования Лапласа по известному закону изменения во времени источника. Так, для постоянной ЭДС, включаемой в момент времени t = 0, e(t) = E0×1(t), поэтому ее изображение по Лапласу имеет вид E(s) = E0/s. Нулевой нижний предел интегрирования в формуле прямого преобразования Лапласа означает, что действие источников в цепи начинает учитываться лишь с момента коммутации t = 0, т. е., предполагается, что эти источники включаются в момент коммутации. Предыстория процесса, связанная с их действием до коммутации, учитывается в начальных условиях, которые должны быть заданы для переменных состояния — токов в катушках и напряжений на конденсаторах.
Из линейности законов Кирхгофа следует, что и для изображений токов, напряжений и ЭДС они имеют аналогичный вид:
;
.
В результате перехода от оригиналов токов и напряжений к их операторным изображениям, дифференциальные соотношения между токами и напряжениями на катушках и конденсаторах становятся алгебраическими, и вся совокупность уравнений цепи сводится к системе алгебраических уравнений, в которой отражены все исходные данные задачи, включая начальные условия.
Второй этап — определение изображения искомой величины — тока или напряжения — связан с чисто алгебраическими преобразованиями полученных уравнений.
Третий этап — определение оригинала искомой величины с помощью формулы обратного преобразования Лапласа или вытекающих из нее соотношений.
Выполнение преобразований первого и второго этапов существенно зависит от того, при каких начальных условиях (нулевых или ненулевых) рассчитывается цепь. Рассмотрим сначала более общий случай ненулевых начальных условий.
Уравнения для операторных изображений токов и напряжений цепи при ненулевых начальных условиях можно получить, используя независимые уравнения Кирхгофа и компонентные уравнения. При этом, в отличие от метода переменных состояния, на выбор дерева, на основе которого записывают систему уравнений, не накладывается никаких ограничений — оно может включать элементы любого вида. Не требует особого подхода и наличие Ce-контуров или LJ-сечений. Операторный метод позволяет решать и задачи, в которых нарушаются законы коммутации (см. п. 19.7). При этом в качестве начальных условий в систему вводят значения переменных состояния до коммутации, т. е. uC(– 0) и iL(– 0).
Однако более компактный по сравнению с использованием уравнений Кирхгофа способ решения состоит в использовании известных методов расчета — узловых напряжений, контурных токов — к схеме, полученной из исходной в результате замены катушек и конденсаторов введенными выше эквивалентными операторными схемами (см. п.19.3). Применение такого подхода рассмотрено в Задаче 15.1.
