Тема 15. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
(задачи с решением)
Перейти к задачам без решения
|
Задача 15.1. Решить Задачу 14.1 операторным методом. |
В схеме, рассмотренной в Задаче 14.1, с ненулевыми начальными условиями (рис. П15.1, а) замена катушки и конденсатора их операторными эквивалентами приводит к схеме рис. П15.1, б.
a)
б)
Рис. П15.1
Значения токов источников определяются начальными условиями 
; 
. Используем ранее найденные значения 
мА и
В (см. задачу 14.1). Составим узловые уравнения для операторной схемы. При указанной на рис. П15.1,
б нумерации узлов имеем следующие выражения для элементов матрицы узловых проводимостей и правых частей узловых уравнений:
; 
; 
;
; 
; 
;
;
; 
;
При подстановке численных значений имеем
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
В результате получим систему узловых уравнений в операторной форме:
;
;
;
после упрощения в результате алгебраических преобразований —
;
;
.
Решение этой системы приводит к операторным изображениям узловых напряжений:
;
;
.
По этим выражениям можно определить изображение тока или напряжения любой из ветвей цепи, используя уравнения Кирхгофа и компонентные уравнения в операторной форме.
При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 19.
Для определения оригиналов полученных
изображений узловых напряжений с помощью теоремы разложения (п. 19.6) сначала находим корни их общего знаменателя 
. Имеем: 
; 
; 
.
При подстановке значений корней в числитель операторных изображений и производную знаменателя
и умножении на
получим:
;
;
.
Нетрудно убедиться, что последний результат для напряжения
совпадает с полученным ранее для
при решении задачи с помощью уравнений состояния (см. задачу 14.2).
При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 19.
|
Задача 15.2. Рассчитать операторным методом переходный процесс в цепи рис. П15.2 с параметрами R = 40 Ом, L = 0,1 Гн, C = 10 мкФ, и постоянном напряжении на входе Е0 = 120 В.
Рис. П15.2 |
Используя операторный метод при нулевых начальных условиях, выразим входное операторное сопротивление цепи
.
Операторное сопротивление параллельного участка цепи
определяется формулой
.
Для операторного изображения входного тока имеем
. После несложных алгебраических преобразований получим
.
Найдем выходное напряжение рассматриваемой цепи
,
а напряжение 
получим как разность 
:
.
Значения токов 
и 
определим на основании закона Ома:
; 
.
При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 19.
При подстановке численных значений параметров цепи и ЭДС источника получим:
.
Корни его знаменателя H(s) равны
s1 = 0, s2 = - 2000, s3 = -500, производная знаменателя
. Применяя теорему разложения, вычислим
G(s1) = 120, G(s2) = 24, G(s3) = 96, H
'(s1) = 40, H '(s2) = 120,
H '(s3) = -30, что приводит к окончательному результату для тока
.
При анализе процесса включения той же цепи к источнику импульсной ЭДС e0(t) = d(t) имеем E0(s) = 1; и изображение напряжения на катушке выражается неправильной дробью:
.
После выделения целой части дроби, равной 1, применение теоремы разложения ко второму слагаемому приводит к оригиналу искомого напряжения в виде
,
где 
— корни характеристического уравнения 
. Для окончательного преобразования
использованы выражения корней характеристического уравнения, из которых следует:
.
Подстановка числовых значений приводит к окончательному результату:
.
