20.1. ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В рассмотренных методах анализа переходных процессов связь между воздействующим на цепь сигналом f1(t) и выходной величиной f2(t) выражалась косвенно — либо в виде операторной передаточной функции K(s), представляющей отношение изображений по Лапласу обоих сигналов F1(s) и F2(s), либо посредством дифференциального уравнения, связывающего f1 и f2. Такие способы описания динамических свойств цепи не несут в явном виде информацию о скорости протекания переходных процессов; получить ее можно при изучении реакции цепи на типовые воздействия — входные сигналы стандартного вида — единичную и d-функции. Реакция цепи — выходная величина f2(t) при подаче на вход единичной функции f1(t) = 1(t) — называется переходной характеристикой цепи h(t), реакция на d-импульс — импульсной характеристикой hd(t).
Переходную и импульсную характеристики можно найти с помощью операторного метода. При f1(t) = 1(t) F1(s) = 1/s; изображение выходной величины h(t) тогда равно F2(s) = (1/s)K(s). Поэтому h(t) — это оригинал последней функции. Аналогично при f1(t) = d(t) F1(s) = 1, F2(s) = K(s), и обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает hd(t).
Переходную характеристику цепи первого порядка h(t) можно найти и более просто. Поскольку реакция такой цепи на единичное воздействие представляет сумму постоянной величины и одного экспоненциального члена h(t) = A1 + A2 e–t/t, то для нахождения обеих констант достаточно определить выходную величину h(0) при t = 0 и h(¥) при t = ¥. Рассмотрение обоих режимов сводится к анализу чисто резистивной цепи. Режим при t = 0 рассчитывают при нулевых начальных условиях. В результате для обеих постоянных получим A1 = h(¥); A1 + A2 = h(0). Поэтому для цепи первого порядка переходная характеристика выражается как:
h(t) = h(¥) + [h(0) - h(¥)] e–t/t.
Постоянную времени t определяют, находя эквивалентное сопротивление резистивных элементов цепи относительно зажимов индуктивности или емкости при исключенном источнике (см п. 15.4).
Размерность h(t) определяется размерностью входного и выходного сигналов, каждый из которых может являться напряжением или током; размерность hd(t) равна размерности соответствующей переходной характеристики, деленной на время.
Если реакция цепи определяется на той же паре зажимов, что и возбуждение, то вместо K(s) выступает входная величина Z(s) или Y(s); вместо h(t) имеем переходное сопротивление z(t) или проводимость y(t), вместо hd(t) — zd(t) или yd(t) — импульсные сопротивление или проводимость.
Из приведенных операторных соотношений следует, что переходная и импульсная характеристики связаны между собой следующим образом:
или 
.
Для простейших цепей, изображенных на рис. 20.1, а,б, h(t) = 1 – e–t/t. Характеристику hd(t) получим путем дифференцирования: hd(t) = dh/dt = (1/t)e–t/t.
Рис. 20.1
Для цепей (рис. 20.1, в, г) имеем: h(t) = e–t/t. Здесь формальное применение связи hd = dh/dt даст неверный результат. Поэтому определим hd как оригинал передаточной функции K(s) = (st)/(1 + st). Так как она представляет неправильную дробь, перед применением теоремы разложения следует выделить целую часть: K(s) = 1 – 1/(1 + st). Оригинал первого слагаемого — d-функция, и в результате для цепей рис. 20.1, в,г имеем:
hd(t) = d(t) – (1/t)e–t/t.
Очевидно, что при дифференцировании h(t) мы получили только второе слагаемое, поскольку приведенное выражение для h(t) справедливо только при t > 0, а при t < 0 всегда имеем h(t) = 0 (рис. 20.2).
Рис. 20.2
Поэтому для получения hd путем дифференцирования h(t) следовало бы написать h(t) = 1(t)e–t/t, и тогда дифференцирование произведения даст правильный результат. В первом примере (рис. 20.1, а,б) это несущественно, поскольку h(0) = 0, и при дифференцировании ничего не теряется. Поэтому следует либо исправить формулы, связывающие hd и h, либо учитывать множитель 1(t). С учетом сказанного связи между hd и h можно записать так:
hd(t) = h(0)d(t) + dh/dt;
.
По указанному признаку все цепи можно разделить на два класса: 1) цепи с ограниченной импульсной характеристикой (h(0) = 0); 2) цепи с неограниченной импульсной характеристикой (hd(0) = ¥, (h(0) ¹ 0). Множитель 1(t), входящий во все выражения h и hd, при записи обычно опускают.
Примеры определения переходных и импульсных характеристик рассмотрены в Задачах 16.1 - 16.3.
