21.2. ПРИМЕНЕНИЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В результате прямого z-преобразования входного сигнала и разностных уравнений, описывающих процессы в цепи, получим алгебраические уравнения для изображений искомых величин. После их нахождения используют формулы обратного z-преобразования для перехода к соответствующей решетчатой функции.
В качестве примера рассмотрим цепь первого порядка, находящуюся под действием последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 20.6, а), разностное уравнение которой, полученное в п. 20.4, имеет вид
.
Обозначив постоянные коэффициенты уравнения а и b, перепишем его в виде
.
Перейдем к z-изображениям членов уравнения: u1[k] ® U1(z); u2[k] ® U2(z). Согласно правилу изображения смещенной последовательности, найдем u2[k + 1] ® z(U2(z) – u2[0]) = zU2(z) (так как u2[0] — напряжение на выходе цепи в момент подачи первого импульса — равно нулю).
В результате разностное уравнение приводится к алгебраическому
,
из которого найдем изображение выходного напряжения:
 . |
(21.1) |
Окончательная форма оригинала u2[k] зависит от конкретного вида последовательности входных импульсов u1[k]. z-изображение знакопеременной последовательности u1[k] — одинаковых по величине и чередующихся по знаку импульсов (см. рис. 20.11), описываемых выражением u1[k] = (– 1)kU0, можно получить, из формулы изображения экспоненты, приняв множитель в показателе a = jp (ea = ejp = – 1):
.
В результате искомое z-изображение выходного напряжения выражается соотношением
.
Для перехода к оригиналу этой дроби, имеющей два простых полюса z = b и z = – 1, воспользуемся формулой, вытекающей из теоремы о вычетах:
.
После подстановки выражений а и b запишем:
.
Поскольку для простейших интегрирующих цепей (см. рис. 20.1, а,б) имеем h(T) = 1 – e–T/t, то для выходного напряжения отсюда следует выражение, совпадающее с найденным ранее (см. п. 20.6) с помощью дискретной свертки:
.
