26.3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН НА КОНЦЕ ЛИНИИ
Полученные выше выражения для напряжения и тока в виде суммы прямой и обратной волн записаны в предположении, что прямая и обратная волны заданы одновременно в одной и той же точке линии (при t = 0 и x = 0). Однако обычно эти волны возникают в различных точках линии и в разные моменты времени. Так, общая картина переходного процесса в цепи, в которой сопротивление нагрузки R питается от источника ЭДС с напряжением U0 через линию (рис. 26.2), состоит в следующем.
Рис. 26.2
При замыкании ключа в начале линии при t = 0 возникает прямая волна с uj = U0 и ij = uj/Z, которая со скоростью v начинает распространяться к нагрузке. В начале процесса при 0 < t < l/v существует только прямая волна. При t1 = l/v, когда она достигает конца линии, возникнет обратная волна uy, iy = – uy/Z, которая начнет распространяться от нагрузки к генератору. При l/v < t < 2l/v в линии существуют прямая и обратная волны, и напряжения и токи в отдельных точках линии определяются их суммированием. Новое отражение произойдет при t = t2 = 2l/v, когда обратная волна дойдет до входных зажимов линии. При отсутствии потерь в линии и ее конечных элементах этот процесс имеет незатухающий характер и продолжается бесконечно долго. В реальных условиях волны, возникающие при многократных отражениях, затухают из-за потерь, и устанавливается стационарный режим.
Учет волн, возникающих в ходе многократных отражений, представляет сложную задачу и может оказаться более трудоемким, чем решение операторным методом (см. п. 26.1). Однако на практике обычно наибольший интерес представляет рассмотрение именно первого отражения, в результате которого напряжения и токи могут достигнуть максимальных значений.
Установим связь между характеристиками падающей и отраженной волн при включении на конце линии резистора с сопротивлением R (см. рис. 26.2). Напряжение u на резисторе и его ток i складываются из падающей и отраженной волн: u = uj + uy; i = ij + iy. Входящие сюда величины связаны соотношениями: u = Ri; uj = ijZ; uy = – iyZ, поэтому связь между напряжениями падающей и отраженной волн можно записать в виде u = uj + uy = R(uj/Z – uy /Z). Отсюда находим uy(1 + R/Z) = uj(R/Z – 1) или
Величина qu = (R – Z)/(R + Z) — коэффициент отражения по напряжению — определяет соотношение между напряжениями падающей и отраженной волн. При изменении нагрузки линии в пределах 0 < R < ¥ значение коэффициента qu изменяется в пределах от – 1 до 1 — по модулю отраженная волна не может превысить падающую. Эти предельные значения достигаются для короткозамкнутой и разомкнутой на конце линии соответственно. При согласованной нагрузке (R = Z) qu = 0, и отраженная волна вообще не возникает. В этом случае рассмотренный выше переходный процесс в схеме (рис. 26.2) заканчивается в момент времени t = t1 = l/v с приходом прямой волны к нагрузке. Таким образом, в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, переходные процессы в цепях с распределенными параметрами могут быть ограниченными во времени.
Используя связь между токами и напряжениями отдельных волн, можно аналогично ввести коэффициент отражения по току
Примеры расчета отраженных волн напряжения и тока от резистивной нагрузки рассмотрены в Задачах 24.1 и 24.2.
Для определения результирующих напряжения и тока на нагрузке u и i, возникающих после однократного отражения, по заданному напряжению падающей волны uj воспользуемся записанными выше связями u, uj и uy, исключая из них характеристики отраженной волны:
Отсюда следует, что результирующие величины на нагрузке u и i можно определить с помощью эквивалентной схемы (рис. 26.3), содержащей последовательное соединение активного сопротивления, равного волновому сопротивлению линии Z, и сопротивления нагрузки, включаемой под удвоенное напряжение падающей волны (правило эквивалентной волны).
Рис. 26.3
Из полученных связей следует, что в результате однократного отражения суммарное напряжение u может не более чем удвоиться по сравнению с uj. Легко установить, что то же справедливо и в отношении результирующего тока: при однократном отражении i £ 2ij.
Подобные соотношения между характеристиками падающей, отраженной волны и результирующими токами и напряжениями на конце линии справедливы и при нагрузке более сложного вида. При этом в качестве R в формулах для коэффициентов отражения qu и qi и в схеме на рис. 26.3 для расчета результирующих величин фигурирует входное сопротивление нагрузочного двухполюсника R = Rвх.
При расчете отражений в схеме сопряжения одной линии с волновым сопротивлением Z1 с другой, имеющей волновое сопротивление Z2, с включенным в месте их стыка Г-образным четырехполюсником (рис. 26.4, а) для определения параметров отраженной волны в качестве сопротивления нагрузки следует использовать величину Rвх = R1 + R2/(R2 + Z2), в котором влияние второй линии учитывается активным сопротивлением, равным ее волновому сопротивлению Z2.
Рис. 26.4
Для определения результирующих величин на выходе линии 1 используем эквивалентную схему (рис. 26.4, б). Эта же схема дает возможность определить характеристики преломленной волны uj2 и ij2, распространяющейся во второй линии.
Схема, изображенная на рис. 26.4, а, позволяет обеспечить отсутствие отраженной волны в месте стыка двух линий с отличающимися волновыми сопротивлениями (Z1 № Z2). Так, при Z2 < Z1 можно принять R2 = ¥, и условие qu = 0 выполняется при R1 + Z2 = Z1, т. е. R1 = Z1– Z2. Если, наоборот, Z2 > Z1, то для согласования линии на выходе используем сопротивление R2 при R1 = 0. В этом случае из условия qu = 0 имеем R2Z2 /(R2 + Z2) = Z1, откуда найдем значение R2 = Z1Z2 /(Z2– Z1), обеспечивающее согласование.
Все приведенные выше соотношения можно использовать и для расчета отражения и преломления волн от нагрузки линии или четырехполюсника на стыке линий, включающих емкости и индуктивности. При нулевых начальных условиях соотношения для коэффициентов отражения сохраняют свою форму для операторных изображений напряжения и тока:
где Zн(s) – входное операторное сопротивление оконечного сопротивления линии. Входящие в состав нагрузки первой линии другие линии учитываются в Zн(s) активными сопротивлениями, равными их волновым сопротивлениям, подобно тому, как на рис. 26.4. Для определения отраженных волн при сложной форме падающей волны по заданному закону uj(t) находим его операторное изображение Uj(s). Переход от изображения Uy(s) = Uj(s)qu(s) к оригиналу uy(t) осуществляется с помощью теоремы разложения.
При использовании эквивалентной схемы (см. рис. 26.3) результирующие выражения тока и напряжения определяют по их операторным изображениям:
Для анализа эквивалентной схемы можно использовать и любые другие методы анализа переходных процессов (например, интегрирование уравнений состояния).
Рассмотрим в качестве примера
процесс отражения волны от конца линии, замкнутой на параллельное соединение резистора Rн и емкости
C. Операторное сопротивление нагрузки
линии равно 
, а операторный коэффициент отражения по напряжению
В частном случае при нагрузке на чистую емкость (рис. 26.5, а), в последнем выражении следует принять Rн = ¥ и коэффициент отражения по напряжению равен qu = (1 – sZC)/(1 + sZC). При постоянной во времени падающей волне uj = U0 имеем Uj(s) = U0/s; Uj(s) = U0(1 – st)/[s(1 + st)], где t = ZC. Применяя теорему разложения, найдем uy(t) = U0(1 – 2e-t/t).
Рис. 26.5
Полученное выражение относится к оконечной точке линии. Отсчет времени в нем ведется от момента t = 0, к которому падающая волна достигает конечных зажимов линии 11'. Для нахождения выражения uy(x', t), определяющего отраженную волну в произвольной точке, находящейся на расстоянии x' от конца линии, в последнем выражении следует заменить аргумент t на t – x'/v, что учитывает запаздывание изменений напряжения на время пробега волны x'/v до данной точки линии. Для линии с потерями следует также учесть затухание волны, выражаемое экспоненциальным множителем e–ax'. В результате получим
и
На рис. 26.5, в и г приведены графики распределения результирующих напряжения и тока, учитывающие прямую и отраженную волны в линии без потерь, замкнутой на емкость. В начальный момент напряжение на конце линии спадает до нуля, а ток достигает удвоенного значения 2ij — отраженные волны имеют такой же характер, как при короткозамкнутой линии. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем увеличивается и в пределе t ® ¥ достигает удвоенного значения 2uj, ток в конце линии уменьшается до нуля. В этом предельном режиме заряженный конденсатор ведет себя как разрыв в конце линии, и отраженные волны такие же, как и в случае линии, разомкнутой на конце.
Эквивалентная схема для расчета результирующих величин u и i в конце линии приведена на рис.26.5, б. Ее элементарный вид позволяет записать непосредственно: u = 2uj(1 – e–t/t), где uj = U0, t = ZC, i = C duC/dt = 2uje–t/t/Z. Нетрудно убедиться, что эти выражения соответствуют результатам, полученным ранее при суммировании найденных ранее выражений для падающей и отраженной волн: u = uj + uy; i = ij + iy.
Пример расчета отражения волны от конца линии детально рассмотрен в Задаче 23.3.
